Ισότητα εγκύκλων

KARKAR · #1

: Ισότητα εγκύκλων.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Στο μορφής 3-4-5

, ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημείο

της υποτείνουσας

, τέτοιο ώστε

οι έγκυκλοι (K),(Q)

των

να είναι ίσοι , ακτίνας

ο καθένας . Επίσης ονομάζουμε $\rho$ την ακτίνα

του εγκύκλου του $\displaystyle ABC$ . Δείξτε ότι ισχύει $\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}r}-\dfrac{1}{\rho}$ . Το συμπέρασμα αυτό ισχύει σε κάθε ορθογώνιο

τρίγωνο , αλλά δεν γνωρίζω απόδειξη παρόμοια με αυτή που καλείσθε να βρείτε για το συγκεκριμένο τρίγωνο .

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα εγκύκλων.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο μορφής , ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημείο της υποτείνουσας , τέτοιο ώστε

οι έγκυκλοι των να είναι ίσοι , ακτίνας ο καθένας . Επίσης ονομάζουμε $\rho$ την ακτίνα

του εγκύκλου του $\displaystyle ABC$ . Δείξτε ότι ισχύει $\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}r}-\dfrac{1}{\rho}$ . Το συμπέρασμα αυτό ισχύει σε κάθε ορθογώνιο

τρίγωνο , αλλά δεν γνωρίζω απόδειξη παρόμοια με αυτή που καλείσθε να βρείτε για το συγκεκριμένο τρίγωνο .

Καλημέρα Θανάση!

: Ισότητα εγκύκλων.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές

Έστω

η ημιπερίμετρος του τριγώνου. Αν a=5k,b=4k,c=3k,

, τότε θα είναι $\displaystyle{\rho = \frac{{b + c - a}}{2} = k \Leftrightarrow }$ $\boxed{k = \rho }$

$\displaystyle{\frac{r}{\rho } = \frac{{BK'}}{{BE'}} = \frac{{CQ'}}{{CE'}} = \frac{{BK' + CQ'}}{a} = \frac{{c + BD - AD + b + CD - AD}}{{2a}} = \frac{{s - AD}}{{5\rho }} = }$

$\displaystyle{\frac{{6\rho - AD}}{{5\rho }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AD = 6\rho - 5r}$ (1)

$\displaystyle{(ABC) = (ABD) + (ADC) \Leftrightarrow 6{\rho ^2} = \frac{{b + BD + AD + c + DC + AD}}{2}r = 6\rho r + ADr \Leftrightarrow }$ $\boxed{AD = \frac{{6\rho (\rho - r)}}{r}}$ (2)

Από

: $\displaystyle{\frac{{6\rho (\rho - r)}}{r} = 6\rho - 5r \Leftrightarrow 6{\rho ^2} - 12\rho r + 6{r^2} = {r^2} \Leftrightarrow 6{(\rho - r)^2} = {r^2} \Leftrightarrow \frac{{\rho - r}}{{\rho r}} = \frac{r}{{6\rho (\rho - r)}} \Leftrightarrow }$

$\boxed{\frac{1}{r} - \frac{1}{\rho } = \frac{1}{{AD}}}$

Ισότητα εγκύκλων

Ισότητα εγκύκλων

Re: Ισότητα εγκύκλων

Μέλη σε σύνδεση