Ίσα αθροίσματα

KARKAR · #1

: Ίσα αθροίσματα.png (11.39 KiB) Προβλήθηκε 1254 φορές

Οι γωνίες γύρω από το

είναι όλες 60^0

. Δείξτε ότι :

OA+OB+OC=OP+OQ+OS

sakis1963 · #2

Καλημέρα Θανάση,

τόχουμε δεί πάλι σαν θέμα ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

δεν δίνω την παραπομπή (ακόμα) για να δούμε και άλλες λύσεις

#3

Θανάση και Σάκη, Καλό μεσημέρι!

Ξέρω σε ποιο θέμα αναφέρεται ο Σάκης (τραβηγμένο για Γεωμετρία Α' Λυκείου, αλλά από αλλού ξεκίνησε και αλλού κατέληξε). Ούτε κι εγώ δίνω παραπομπή. Δίνω όμως το παρακάτω σχήμα, όπου όλα είναι αυτά που φαίνονται.

: Ίσα αθροίσματα.png (33.66 KiB) Προβλήθηκε 1196 φορές

Αφού αποδείξετε το ζητούμενο του Θανάση, να δείξετε ότι QE=AH

(ή και αντίστροφα. Χρησιμοποιήστε αυτή την ισότητα-αφού πρώτα την αποδείξετε- για να λύσετε την άσκηση του Θανάση).

ealexiou · #4

Καλησπέρα!

Με τον ..."φόβο" να συμπέσω με την λύση που αναφέρουν οι φίλοι Σάκης και Γιώργος παραπάνω, δεν το θυμάμαι ...
Το σίγουρο είναι ότι κάτι μου θυμίζει. Το πιο πιθανό είναι να την έχω δει (και να έχω ασχοληθεί) σε κάποιο από τα εξαιρετικά βιβλία του κ. Στεργίου ή των κ.κ Στεργίου - Μπραζιτίκου.

: Ίσα αθροίσματα.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές

Ας είναι

τα μέσα των QA,BS,CP

αντίστοιχα, οπότε $KD\bot QA, KE\bot BS$ και $KZ\bot CP$ και άρα EKDOZ

εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

Είναι $\angle EZD=\angle EOD=60°$ και $\angle ZDE=\angle ZOE=60°$ , άρα $\triangle ZED$ ισόπλευρο και άρα $\boxed{OE=OZ+OD}$

OA+OB+OC=(OD+DA)+(BE-OE)+(OZ+ZC)=

$(OD+OZ-OE)+\dfrac{QA+BS+CP}{2}=$ $\dfrac{QA+BS+CP}{2}\ (1)$

OP+OQ+OS=(ZP-OZ)+(QD-OD)+(ES+OE)=

$\dfrac{QA+BS+CP}{2}+(-OZ-OD+OE)=$ $\dfrac{QA+BS+CP}{2}\ (2)$

Από (1)

και

έπεται το ζητούμενο.

ealexiou · #5

Για το πρόσθετο ερώτημα του Γιώργου

: Ίσα αθροίσματα1.png (34.18 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

Είναι $\angle BCH=\angle BOH=60° \wedge \angle HBC=\angle HOC=60°\Rightarrow$ $\triangle BCH$ ισόπλευρο.
επίσης $\angle PSL=\angle POL=60° \wedge \angle SPL=\angle SOL=60°\Rightarrow$ $\triangle BCH$ ισόπλευρο.
Οι μεσοκάθετοι από τα σημεία H,L

στα

αντίστοιχα διέρχονται από τα κέντρα (M,K)

,

των αντίστοιχων κύκλων, οπότε $\angle BHK=\angle PLK(=30°)$ και επειδή $\angle BHO=\angle BCO\equiv \angle BCP=\angle BSP\equiv \angle OSP=\angle PLO$ , άρα $\boxed{\angle DHK=\angle DLK}\Rightarrow HK=KL\Rightarrow \boxed{HD=DL}$ και επειδή DQ=DA

άρα $\boxed{\boxed{QH=AL}}$ που είναι το ζητούμενο (με εν μέρει άλλα γράμματα)

KARKAR · #6

Δεν γνωρίζω αν στην παραπομπή βρίσκουμε την πρώτη εμφάνιση της Άσκησης ,

αλλά είναι η

των Grade 10 και δόθηκε στον διαγωνισμό αυτόν

sakis1963 · #7

Να δώσω και την συσχέτιση Έγχορδο ισόπλευρο

Ίσα αθροίσματα

Ίσα αθροίσματα

Re: Ίσα αθροίσματα

Re: Ίσα αθροίσματα

Re: Ίσα αθροίσματα

Re: Ίσα αθροίσματα

Re: Ίσα αθροίσματα

Re: Ίσα αθροίσματα

Μέλη σε σύνδεση