Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 12.

#1

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω , μεταβλητό σημείο επί της πλευράς του . Ο έγκυκλος έστω του τριγώνου $\vartiangle ABP$ εφάπτεται των $BP,\ AP,\ AB$ στα σημεία $D,\ E,\ Z$ , αντιστοίχως. Ο έγκυκλος έστω του τριγώνου $\vartriangle APC$ εφάπτεται των $PC,\ AP,\ AC$ στα σημεία $D',\ E',\ Z'$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω $S\equiv DZ\cap D'Z'$ και $T\equiv DE\cap D'E'$ περνάει από το σημείο .

Κώστας Βήττας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

vittasko έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω , μεταβλητό σημείο επί της πλευράς του . Ο έγκυκλος έστω του τριγώνου $\vartiangle ABP$ εφάπτεται των $BP,\ AP,\ AB$ στα σημεία $D,\ E,\ Z$ , αντιστοίχως. Ο έγκυκλος έστω του τριγώνου $\vartriangle APC$ εφάπτεται των $PC,\ AP,\ AC$ στα σημεία $D',\ E',\ Z'$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω $S\equiv DZ\cap D'Z'$ και $T\equiv DE\cap D'E'$ περνάει από το σημείο .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Επιπρόσθετο ζητούμενο για όσους ενδιαφέρονται.

Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία έστω $Q\equiv DE\cap D'Z'$ και $R\equiv D'E'\cap DZ$ περνάει επίσης από το σημείο .

$\bullet$ Αν $F \equiv DZ \cap AP$ τότε από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle ABP$ με διατέμνουσα την θα έχουμε:

$\dfrac{{ZA}}{{ZB}} \cdot \dfrac{{DB}}{{DP}} \cdot \dfrac{{FP}}{{FA}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{ZB = DB,ZA = AE,DP = PE}$ $\dfrac{{AE}}{{PE}} \cdot \dfrac{{FP}}{{FA}} = 1 \Rightarrow \ldots \boxed{\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{PE}}{{PF}}}:\left( 1 \right)$ . Από τη σχέση $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι η σειρά $\left( {A,E,P,F} \right)$

είναι αρμονική άρα και η δέσμη είναι αρμονική. Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι και η δέσμη είναι αρμονική, με $F' \equiv D'Z' \cap AP$ .

Οι αρμονικές δέσμες και έχουν κοινή ακτίνα την $DP \equiv D'P \equiv DD'$ οπότε τα σημεία τομής

$S \equiv DF \cap D'F' \equiv ZD \cap Z'D',T \equiv DE \cap D'E'\,\,\& \,\,A \equiv DA \cap D'A$ των τριών άλλων ομολόγων ακτινών τους είναι συνευθειακά

και το πρώτο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
[attachment=0]Μεταβλητή ευθεία διά σταθερού σημείου 12.png[/attachment]
$\bullet$ Με αρμονική προκύπτει ότι και η δέσμη είναι αρμονική, με $M \equiv AS \cap BC$ οπότε και η σειρά $\left( {A,T,M,S} \right)$ είναι αρμονική, άρα το σημείο είναι

το αρμονική συζυγές του ως προς τα σημεία δηλαδή το σημείο στο οποίο η διαγώνιος του πλήρους τετραπλεύρου τέμνει τη διαγώνιο του ,

δηλαδή είναι συνευθειακά και το ζητούμενο του Υ.Σ. έχει αποδειχθεί. (Κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο).

Στάθης

Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 12.

Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 12.

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 12.

Μέλη σε σύνδεση