Ανισότητα Αρχιμήδη
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
- G.Bas
- Δημοσιεύσεις: 705
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 13, 2010 9:27 pm
- Τοποθεσία: Karditsa - Ioannina
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα Αρχιμήδη
Πιστεύω πως λύνεται και με τη formula του Bernulli, η οποία λέει
Let Solutions Say Your Method!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα Αρχιμήδη
Ίσως η πιο σύντομη λύση είναι με την χρήση ολοκληρωμάτων.
και
και
Γιώργο, να μας δώσεις λίγες περισσότερες λεπτομέρειες; Προς το παρόν δεν βλέπω πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί.G.Bas έγραψε:Πιστεύω πως λύνεται και με τη formula του Bernulli, η οποία λέει
- G.Bas
- Δημοσιεύσεις: 705
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 13, 2010 9:27 pm
- Τοποθεσία: Karditsa - Ioannina
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα Αρχιμήδη
Καλησπέρα.
Μόνο για την δεξιά Ανισότητα, μπορώ να παρατηρήσω κάτι....
Εάν δεν βοηθά κάπου, παρακαλώ, μην το θεωρήσετε spam
Μόνο για την δεξιά Ανισότητα, μπορώ να παρατηρήσω κάτι....
Εάν δεν βοηθά κάπου, παρακαλώ, μην το θεωρήσετε spam
Let Solutions Say Your Method!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
George Basdekis
Cauchy-Schwarz is the best tool!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα Αρχιμήδη
Επειδή βλέπω ότι δεν υπάρχει στοιχειώδης απόδειξη γράφω μια που γνωρίζω από τα μαθητικά μου χρόνια.
Η ιδέα προέρχεται από το βιβλίο του Tom M. Apostol.
Συγκεκριμένα από το ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ(2 τόμοι)
που είναι η Ελληνική μετάφραση του βιβλίου του CALCULUS.
Είναι στην ασκηση 13 της παραγράφου 1.23.
Εκεί ζητάει να αποδειχθεί ότι για φυσικούς ισχύει
(1)
Αυτή η ανισότητα προκύπτει από την γνωστή ταυτότητα
Μετά ζητάει να αποδειχθεί η ανισότητα του Αρχιμήδη με επαγωγή στο .
Επειδή η επαγωγή στα σχολικά Μαθηματικά έχει πάει στα τάρταρα μπορούμε να την αποφύγουμε ως εξής :
Γράφοντας την (1) για παίρνουμε
.
.
.
Αθροίζοντας τις παραπάνω και παρατηρώντας ότι στα μεσαία έχουμε απλοποιήσεις παίρνουμε
που είναι ισχυρότερη από αυτή του Αρχιμήδη.
Για την απόδειξη από την τελευταία της ανισότητας του Αρχιμήδη αρκεί να παρατηρήσουμε ότι
και
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες