Τιμή παράστασης

Ιστοσελίδα · #1

Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z

ισχύουν οι ισότητες:

$x^2+xy+y^2=169 \; , \qquad y^2+yz+z^2=225 \; , \qquad z^2+zx+x^2=196$

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=xy+yz+zx

#2

Θεωρούμε σημείο

του επιπέδου και τα σημεία A, B, C

ώστε $\displaystyle{PA = x}$ , $\displaystyle{PB = y}$ , $\displaystyle{PC = z}$ και

$\displaystyle{\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = {120^ \circ }.}$

Από τα δεδομένα του προβλήματος και το νόμο των συνημιτόνων προκύπτει ότι $\displaystyle{BC = 15}$ , $\displaystyle{CA = 14}$ και $\displaystyle{AB = 13}$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα, το τρίγωνο ABC

έχει εμβαδόν ίσο με

$\displaystyle{E = \sqrt {21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = 84.}$

Αλλά είναι και

$\displaystyle{E = \left( {PAB} \right) + \left( {PBC} \right) + \left( {PCA} \right) = \frac{1}{2}\left( {xy + yz + zx} \right)\sin {120^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {xy + yz + zx} \right),}$

οπότε τελικά

$\displaystyle{\boxed{A = xy + yz + zx = 112\sqrt 3} }$ .

Ιστοσελίδα · #3

Και μια λύση με αλγεβρικό τρόπο.

Προσθέτουμε κατά μέλη τις τρεις ισότητες:
$2x^2+2y^2+2z^2+xy+yz+zx=590 \Rightarrow$

2(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2-2xy+y^2)+

$(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)=1180 \Rightarrow$

$2(x+y+z)^2+(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=1180\; (1).$

Αφαιρούμε τις δύο πρώτες ισότητες:

$x^2+xy+y^2-y^2-yz-z^2=56 \Rightarrow$

$(x-z)(x+y+z)=56 \Rightarrow x-z=\dfrac{56}{x+y+z}$ , αφού $x+y+z\neq 0$ .

Όμοια $y-x=\dfrac{29}{x+y+z}$ και $z-y=\dfrac{27}{x+y+z}$ .

Θέτουμε x+y+x=p

, αντικαθιστούμε στην (1)

και έχουμε:

$2p^2+\dfrac{841}{p^2}+\dfrac{729}{p^2}+\dfrac{3136}{p^2}=1180 \Rightarrow 2p^2+\dfrac{4706}{p^2}=1180 \Rightarrow$

$p^4-590p^2+2353=0 \Rightarrow p^2=295\pm 168\sqrt{3}.$

$\bullet$ Αν $p^2=295+168\sqrt{3} \Rightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=295+168\sqrt{3} \Rightarrow$

$x^2+y^2+z^2=295+168\sqrt{3}-2A$ και αντικαθιστώντας στην

2x^2+2y^2+2z^2+xy+yz+zx=590

έχουμε: $2(295+168\sqrt{3}-2A)+A=590 \Rightarrow A=112\sqrt{3}$ .

$\bullet$ Αν $p^2=295-168\sqrt{3}$ όμοια παίρνουμε $A=-112\sqrt{3}$ αδύνατο γιατί x,y,z>0

.

Τελικά $A=112\sqrt{3}$ .

Karanus · #4

emouroukos έγραψε:Θεωρούμε σημείο του επιπέδου και τα σημεία ώστε $\displaystyle{PA = x}$ , $\displaystyle{PB = y}$ , $\displaystyle{PC = z}$ και

$\displaystyle{\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = {120^ \circ }.}$

Από τα δεδομένα του προβλήματος και το νόμο των συνημιτόνων προκύπτει ότι $\displaystyle{BC = 15}$ , $\displaystyle{CA = 14}$ και $\displaystyle{AB = 13}$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα, το τρίγωνο έχει εμβαδόν ίσο με

$\displaystyle{E = \sqrt {21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = 84.}$

Αλλά είναι και

$\displaystyle{E = \left( {PAB} \right) + \left( {PBC} \right) + \left( {PCA} \right) = \frac{1}{2}\left( {xy + yz + zx} \right)\sin {120^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {xy + yz + zx} \right),}$

οπότε τελικά

$\displaystyle{\boxed{A = xy + yz + zx = 112\sqrt 3} }$ .

Γεια σας και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ!!!
Είναι πραγματικά πολύ όμορφη η λύση μέσω γεωμετρίας.
Θα ήταν νομίζω πολύ χρήσιμο να μας λέγατε και κάποιες απο τις σκέψεις σας , που σας οδήγησαν στη γεωμετρική λύση.
Για να γίνω πιό σαφής:
Λύσατε την άσκηση απ΄ ευθείας γεωμετρικά;
Εάν ναί : τι σας οδήγησε να πάτε γεωμετρικά;
Ευχαριστώ.

Τιμή παράστασης

Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση