ορθογώνιο και ισοσκελές

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

ορθογώνιο και ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 25, 2016 10:59 am

Ισοσκελές και ορθογώνιο.png
Ισοσκελές και ορθογώνιο.png (21.98 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές
Εξωτερικά του τριγώνου ABC, κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ABEF, ACDG. Αν M είναι το μέσο του ED,

να δείξετε ότι το τρίγωνο MBC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.


Επεξεργασία: Σύμφωνα με την παρακάτω παρατήρηση του Κώστα Βήττα, απέσυρα τη συνθήκη \hat{A}=45^0. Αγνοήστε την και στο σχήμα.
Η λύση του Ορέστη που προηγήθηκε αυτής της διόρθωσης είναι απόλυτα σωστή.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Σεπ 25, 2016 12:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1981
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: ορθογώνιο και ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Σεπ 25, 2016 11:36 am

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα σε όλους.

Δεν είναι απαραίτητο βέβαια, να ισχύει \angle A = 45^{o} και νομίζω ότι πιο πολύ μπερδεύει τον υποψήφιο λύτη, παρά τον βοηθάει.

Η γωνία \angle BMC δεν εξαρτάται από την \angle A , αλλά ...

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: ορθογώνιο και ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Σεπ 25, 2016 11:57 am

Καλημέρα κύριε Γιώργο!

Το τρίγωνο GEDείναι ορθογώνιο, με διάμεσο GM.

Άρα, GM=MD, οπότε το M είναι στην μεσοκάθετο της GD, δηλαδή και της AC.

Άρα, MA=MC, και όμοια, MA=MB.

Έπεται ότι M είναι περίκεντρο του τριγώνου ABC.

Συνεπώς, \widehat{BMC}=2\hat{A}=90, και αφού MB=MC=MA, το ζητούμενο έπεται.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ορθογώνιο και ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 25, 2016 12:08 pm

Καλημέρα Κώστα, καλημέρα σε όλους!

Έχεις απόλυτο δίκιο. Η αρχική σκέψη ήταν να δειχθεί ότι το M είναι το περίκεντρο του ABC, όπως η απόδειξη του Ορέστη ( Καλημέρα Ορέστη :clap2: ). Στην πορεία όμως την άλλαξα, χωρίς να παρατηρήσω ότι η συνθήκη \hat{A}=45^0 δεν ήταν απαραίτητη.
Ζητώ συγνώμη απ' όσους ταλαιπώρησα.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1414
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: ορθογώνιο και ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Σεπ 25, 2016 12:38 pm

\displaystyle{MN} είναι διάμεσος του τραπεζίου \displaystyle{EKLD} άρα \displaystyle{2MN = EK + DL = (\vartriangle EKB = \vartriangle ABZ,\vartriangle AZC = \vartriangle DCL) = BZ + ZC = BC}

Ακόμη, \displaystyle{BN = KN - KB = LN - CL = NC} .Τώρα το ζητούμενο έπεται.

o-i.png
o-i.png (33.04 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9807
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ορθογώνιο και ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Σεπ 25, 2016 8:48 pm

Βρε Γιώργο , πώς σου ήρθε η ιδέα να ανεβλασεις τέτοιο θέμα . Πιθανότατα είναι το πιο

πολυπαιγμένο σε όλο το :logo: ! Ξεκίνα π.χ από εδώ , ή απλά αναζήτησε το Vecten


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ορθογώνιο και ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 25, 2016 11:22 pm

KARKAR έγραψε:Βρε Γιώργο , πώς σου ήρθε η ιδέα να ανεβλασεις τέτοιο θέμα . Πιθανότατα είναι το πιο

πολυπαιγμένο σε όλο το :logo: ! Ξεκίνα π.χ από εδώ , ή απλά αναζήτησε το Vecten
Όλα πήγαν στραβά απ' την αρχή. Αλλιώς ξεκίνησε κι αλλιώς κατέληξε :oops:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης