Γωνία

mick7 · #1

Αναζητείται η γωνία φ του σχήματος. Η εξίσωση της καμπύλης δίνεται στο σχήμα.

#2

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 11:13 am
Αναζητείται η γωνία φ του σχήματος. Η εξίσωση της καμπύλης δίνεται στο σχήμα.

Επειδή δεν είναι θέμα για Α.Ε.Ι. ούτε θέμα Γεωμετρίας (όπως δηλώνει ο φάκελος) αλλά απλό θέμα ρουτίνας Απειροστικού Λυκείου, θα δώσω μόνο εκτενή υπόδειξη για να την χαρούν οι μαθητές μας.

Είναι λίγο ευκολότερο, αν μιλάμε σε μαθητές Λυκείου, να αλλάξουμε τους ρόλους των

και

για να είναι πιο οικεία η γλώσσα. Δηλαδή μιλάμε για την καμπύλη $\sqrt {y^2+x^2} = e^{x-1}$ . Έχει δύο κλάδους που προκύπτουν από λύση ως προς

. Τους

$y = \sqrt {e^{2(x-1)} - x^2}=f(x)$ και $y = -\sqrt {e^{2(x-1)} - x^2}=-f(x)$ των οποίων θέλουμε την γωνία στο x=1

. Οπότε βρίσκουμε το f'(1)

. Τυχαίνει η

να μην παραγωγίζεται στο

αλλά έχουμε το πλευρικό όριο $\displaystyle{\lim _{x\to 1+} f'(x)}$ .

Θα βγει ότι το όριο αυτό είναι

, δηλαδή σχηματίζει γωνία 45^o

, άρα η ζητούμενη είναι 90^o

.

stranger · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 2:22 pm

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 11:13 am
Αναζητείται η γωνία φ του σχήματος. Η εξίσωση της καμπύλης δίνεται στο σχήμα.
Επειδή δεν είναι θέμα για Α.Ε.Ι. ούτε θέμα Γεωμετρίας (όπως δηλώνει ο φάκελος) αλλά απλό θέμα ρουτίνας Απειροστικού Λυκείου, θα δώσω μόνο εκτενή υπόδειξη για να την χαρούν οι μαθητές μας.

Είναι λίγο ευκολότερο, αν μιλάμε σε μαθητές Λυκείου, να αλλάξουμε τους ρόλους των και για να είναι πιο οικεία η γλώσσα. Δηλαδή μιλάμε για την καμπύλη $\sqrt {y^2+x^2} = e^{x-1}$ . Έχει δύο κλάδους που προκύπτουν από λύση ως προς . Τους

$y = \sqrt {e^{2(x-1)} - x^2}=f(x)$ και $y = -\sqrt {e^{2(x-1)} - x^2}=-f(x)$ των οποίων θέλουμε την γωνία στο . Οπότε βρίσκουμε το . Τυχαίνει η να μην παραγωγίζεται στο αλλά έχουμε το πλευρικό όριο $\displaystyle{\lim _{x\to 1+} f'(x)}$ .

Θα βγει ότι το όριο αυτό είναι , δηλαδή σχηματίζει γωνία , άρα η ζητούμενη είναι .

Εγώ αναρωτιέμαι πως ορίζεται η γωνία όταν οι τεμνόμενες καμπύλες δεν είναι ευθείες. Τώρα το πως την βρήκατε κιόλας δεν το κοίταξα είναι η αλήθεια, αλλά θα το κοιτάξω.
edit: Μάλλον θα εννοείτε την γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες των καμπυλών στο σημείο. Αν είναι έτσι είναι άσκηση ρουτίνας.

#4

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2024 4:42 am
edit: Μάλλον θα εννοείτε την γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες των καμπυλών στο σημείο. Αν είναι έτσι είναι άσκηση ρουτίνας.

Ναι, αυτός είναι ο ορισμός την γωνίας δύο τεμνόμενων λείων καμπυλών.

Για την ιστορία, στα Στοιχεία του Ευκλείδη υπάρχει η έννοια των "μεικτόγραμμων γωνιών". Ειδικά όταν η μία πλευρά είναι τόξο κύκλου και η άλλη είναι η εφαπτομένη ευθεία σε ένα σημείο της (που ο παραπάνω ορισμός δίνει ως γωνία την μηδενική) ο Ευκλείδης δείχνει ότι η εν λόγω γωνία είναι μικρότερη από κάθε οξεία γωνία. Δεν έχω πρόχειρη την παραπομπή γιατί είμαι εκτός έδρας για διάφορες ομιλίες που κάνω, προς μαθητές ή συναδέλφους.

Γωνία

Γωνία

Re: Γωνία

Re: Γωνία

Re: Γωνία

Μέλη σε σύνδεση