Διαφορίσιμο πεδίο επιπέδων

BAGGP93 · #1

Ένα πεδίο επιπέδων σε ένα ανοικτό μη-κενό σύνολο $\displaystyle{U}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^3$ με τη συνήθη τοπολογία, είναι μια απεικόνιση $\displaystyle{P}$

η οποία αντιστοιχίζει σε κάθε σημείο $\displaystyle{p\in U}$ ένα επίπεδο $\displaystyle{P(p)}$ διερχόμενο από το $\displaystyle{p}$ .

Μάλιστα, αν οι συντελεστές της εξίσωσης αυτού του επιπέδου είναι διαφορίσιμες, το πεδίο λέγεται διαφορίσιμο.

Ας είναι τώρα $\displaystyle{w=a_1\,\rm{d}x_1+a_2\,\rm{d}x_2+a_3\,\rm{d}x_3}$ μια διαφορική $\displaystyle{1}$ - μορφή σε ένα μη-κενό ανοικτό

σύνολο $\displaystyle{U}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^3$ με $\displaystyle{w(q)\neq 0\,,\forall\,q\in U}$ . Να δείξετε ότι η $\displaystyle{w}$

προσδιορίζει ένα διαφορίσιμο πεδίο επιπέδων $\displaystyle{P}$ μέσω της συνθήκης

$\displaystyle{v\in P(p)\subseteq \mathbb{R}^3\iff w_{p}(v)=0}$ .

Πρόκειται για άλυτη άσκηση στο βιβλίο του $\displaystyle{\rm{do Carmo}}$

" Διαφορικές μορφές" (Μετάφραση Δημήτρης Νταής) .

Σκέψεις

Η $\displaystyle{w}$ αντιστοιχίζει σε κάθε $\displaystyle{p\in U}$ μια γραμμική απεικόνιση $\displaystyle{w(p)\in\left(\mathbb{R}^3_{p}\right)^{\star}}$

(το τελευταίο σύνολο αποτελείται από όλες τις γραμμικές απεικονίσεις του $\displaystyle{\mathbb{R}^3_{p}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ).

και σε τυχόν $\displaystyle{v=\left(x,y,z\right)}$ δίνει τον πραγματικό αριθμό

$\displaystyle{w_{p}(v)=w_{p}(x,y,z)=a_{1}(p)\,\rm{dx}_{p}(x,y,z)+a_{2}(p)\,\rm{dy}_{p}(x,y,z)+a_{3}(p)\,\rm{dz}_{p}(x,y,z)=a_{1}(p)\,x+a_{2}(p)\,y+a_{3}(p)\,z$ .

Μάλιστα, λόγω της υπόθεσης, υπάρχει $\displaystyle{i\in\left\{1,2,3\right\}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{a_{i}(p)\neq 0}$ . Υποθέτουμε ότι

η $\displaystyle{w}$ ικανοποιεί την πιο πάνω συνθήκη.

Αν $\displaystyle{P(p)}$ είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από το $\displaystyle{p=\left(p_1,P_2,p_3\right)}$ , τότε :

$\displaystyle{p\in P(p)\iff w_{p}(p)=a_{1}(p)\,p_1+a_{2}\,p_2+a_{3}(p)\,p_3=0}$ και αν $\displaystyle{v=(x,y,z)}$ είναι τυχόν σημείο αυτού του

επιπέδου, τότε $\displaystyle{w_{p}(v)=0\iff a_{1}(p)\,x+a_{2}(p)\,y+a_{3}(p)\,z=0}$ .

Είμαι σε καλό δρόμο ; Μπορείτε να δώσετε κάποιες ιδέες ή κάποια υπόδειξη ;

BAGGP93 · #2

Επίσης :

$\displaystyle{v\in P(p)\subseteq \mathbb{R}^3\iff w_{p}(v)=0\iff v\in\rm{Ker}(w_{p})}$ και από την θεμελιώδη εξίσωση διαστάσεων έχουμε :

$\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^3_{p}=\dim_{\mathbb{R}}\rm{Ker}(w_{p})+\dim_{\mathbb{R}}Im(w_{p})}$ .

Ο $\displaystyle{Im(w_{p})}$ είναι υπόχωρος του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{R}=1\,,w_{p}\neq 0}$

άρα $\displaystyle{Im(w_{p})=\mathbb{R}}$ και συνεπώς $\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}\rm{Ker}(w_{p})=2}$ .

Επαναφορά για σχόλια, παρατηρήσεις και υποδείξεις.

Διαφορίσιμο πεδίο επιπέδων

Διαφορίσιμο πεδίο επιπέδων

Re: Διαφορίσιμο πεδίο επιπέδων

Μέλη σε σύνδεση