Σύνολο τιμών παράστασης!

#1

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της παράστασης

$\displaystyle{K(x,y,z)=\frac{|x+y|}{|x|+|y|}+\frac{|y+z|}{|y|+|z|}+\frac{|z+x|}{|z|+|x|}.}$

chrislg · #2

Ισχύει ότι $\left|x+y \right|\leq \left|x \right|+\left|y \right|$ αφού $xy\leq\left|x \right|\left|y \right|$
Άρα $\frac{\left|x+y \right|}{\left|x \right|+\left|y \right|}\leq 1$
Ομοίως προκύπτει ότι : $\frac{\left|y+z \right|}{\left|y \right|+\left|z \right|}\leq 1$ και
$\frac{\left|z+x \right|}{\left|z \right|+\left|x \right|}\leq 1$
Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε ότι $K\leq3$
Επίσης αν δύο από τις μεταβλητές x,y,z

είναι ίσες, και η άλλη είναι αντίθετη από αυτές (πχ x=y,z=-y

) τότε

Άρα $1\leq K\leq3$
Διορθώστε με αν έκανα κάποιο λάθος ...

#3

chrislg έγραψε: Επίσης αν δύο από τις μεταβλητές είναι ίσες, και η άλλη είναι αντίθετη από αυτές (πχ x=y,z=-y) τότε
Άρα $1\leq K\leq3$
Διορθώστε με αν έκανα κάποιο λάθος ...

Ναι, υπάρχουν δύο σημεία που πρέπει να προσέξεις.

1) ΄Εδειξες υπό την συνθήκη x=y=-z

(ή κυκλικά) ότι K=1

. 'Ομως το ελάχιστο το ψάχνουμε χωρίς συνθήκη. Θα μπορούσε κάλλιστα, λοιπόν, το πραγματικό ελάχιστο να είναι ακόμα πιο μικρό από αυτό που βρήκες.

2) Έδειξες (έστω όχι πλήρως) ότι το

παίρνει τιμές μεταξύ

και

. Η άσκηση όμως δεν ζητά τέτοια απάντηση αλλά κάτι περισσότερο. Π.χ. πρέπει να δείξεις ότι παίρνει ΟΛΕΣ τις τιμές μεταξύ

και

(γιατί π.χ. το 2,5

ΕΙΝΑΙ μία από τις τιμές της;).

Ελπίζω να ξεκαθάρισα κάποια σημεία.

Φιλικά,

Μ.Λ.

#4

Επαναφορά!

#5

Από την αρχή της περιστεροφωλιάς έχουμε ότι τουλάχιστον δύο είναι ομόσημοι, έστω οι

,

.
Τότε $\displaystyle{\frac{|x+y|}{|x|+|y|}=1,}$ οπότε $K(x,y,z)\geq 1$ . Η ισότητα ισχύει για x=y=-z

.

Τώρα για να δείξουμε ότι η

παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ 1 και 3, παίρνω x=y

και αρκεί να δείξω ότι η
$\displaystyle{\frac{2|x+z|}{|x|+|z|}}$ παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ 0 και 2. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι η $\displaystyle{\frac{|x+z|}{|x|+|z|}}$ παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ 0 και 1. Αυτό τώρα είναι άμεσο από την συνέχεια της συνάρτησης (θεωρούμε τη συνάρτηση ως προς

για κάποιο σταθερό $z\neq 0$ ).

#6

Μιας και είμαστε σε juniors ας δούμε πως μπορούμε να αποφύγουμε την αναφορά στη συνέχεια:

Για $x=y=1,z = \frac{t-3}{t+1}$ όπου $1 \leqslant t \leqslant 3$ , η τιμή της παράστασης γίνεται

$\displaystyle 1 + 2\frac{\left|1 + \frac{t-3}{t+1}\right|}{1 + \frac{3-t}{1+t}} = 1 + 2\frac{|(2t-2)/t+1|}{4/(t+1)} = 1+(t-1) = t$

Σύνολο τιμών παράστασης!

Σύνολο τιμών παράστασης!

Re: Σύνολο τιμών παράστασης!

Re: Σύνολο τιμών παράστασης!

Re: Σύνολο τιμών παράστασης!

Re: Σύνολο τιμών παράστασης!

Re: Σύνολο τιμών παράστασης!

Μέλη σε σύνδεση