Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#181

ΑΣΚΗΣΗ 83: Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{n}$ , ,ώστε ο αριθμός :

$\displaystyle{A=2^n .15^{n+1}.10^2 -6^n .5^{n+2}.3^3 +3^{n+1}.10^n .5^2}$ , να τελειώνει σε $\displaystyle{2013}$ μηδενικά.

gavrilos · #182

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 83: Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{n}$ , ,ώστε ο αριθμός :

$\displaystyle{A=2^n .15^{n+1}.10^2 -6^n .5^{n+2}.3^3 +3^{n+1}.10^n .5^2}$ , να τελειώνει σε $\displaystyle{2013}$ μηδενικά.

$\displaystyle{2^n \cdot 15^{n+1} \cdot 10^2=30^n \cdot 15 \cdot 10^2=30^n \cdot 30 \cdot 50}$

$\displaystyle{6^n \cdot 5^{n+2} \cdot 3^3=30^n \cdot 5^2 \cdot 3^3}$

$\displaystyle{3^{n+1} \cdot 10^n \cdot 5^2 = 30^n \cdot 3 \cdot 5^2}$

Άρα ο αριθμός γίνεται :

$\displaystyle{A=30^n \cdot 50 \cdot 30 -30^n \cdot 5^2 \cdot 3^3+30^n \cdot 3 \cdot 5^2=30^n \cdot 3 \cdot 5( 10^2 - 5 \cdot 3^2 + 5)}$

$\displaystyle{A=30^n \cdot 3 \cdot 5(100-45+5)=60 \cdot 30^n \cdot 3 \cdot 5=10^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 5 \cdot 6}$ .

$\displaystyle{6 \cdot 5}$ λήγει σε

άρα το

πρέπει να είναι 2011

.

kleovoulos · #183

gavrilos έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 83: Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{n}$ , ,ώστε ο αριθμός :

$\displaystyle{A=2^n .15^{n+1}.10^2 -6^n .5^{n+2}.3^3 +3^{n+1}.10^n .5^2}$ , να τελειώνει σε $\displaystyle{2013}$ μηδενικά.
$\displaystyle{2^n \cdot 15^{n+1} \cdot 10^2=30^n \cdot 15 \cdot 10^2=30^n \cdot 30 \cdot 50}$

$\displaystyle{6^n \cdot 5^{n+2} \cdot 3^3=30^n \cdot 5^2 \cdot 3^3}$

$\displaystyle{3^{n+1} \cdot 10^n \cdot 5^2 = 30^n \cdot 3 \cdot 5^2}$

Άρα ο αριθμός γίνεται :

$\displaystyle{A=30^n \cdot 50 \cdot 30 -30^n \cdot 5^2 \cdot 3^3+30^n \cdot 3 \cdot 5^2=30^n \cdot 3 \cdot 5( 10^2 - 5 \cdot 3^2 + 5)}$

$\displaystyle{A=30^n \cdot 3 \cdot 5(100-45+5)=60 \cdot 30^n \cdot 3 \cdot 5=10^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 5 \cdot 6}$ .

$\displaystyle{6 \cdot 5}$ λήγει σε άρα το πρέπει να είναι .

Καλώς ήρθες σε αυτή τη Θεματική Ενότητα του

!

Ανυπομονώ να σε δω να λύνεις και άλλες ασκήσεις. Προς το παρόν, αναμένουμε καινούριες!

#184

ΑΣΚΗΣΗ 84: Αν $\displaystyle{\overline {ab}=2^n a +3^n b, }$ όπου $\displaystyle{a,b \in N^{*}}$ , $\displaystyle{n\in N}$ , να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός $\displaystyle{\overline {ab}}$

ΑΣΚΗΣΗ 85: Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{2^{2n+m}+2^{2n}-2^m =496}$ , ( $\displaystyle{m,n \in N}$ )

#185

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 85: Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{2^{2n+m}+2^{2n}-2^m =496}$ , ( $\displaystyle{m,n \in N}$ )

Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle{ \left( 2^{2n}-1\right) \left(2^m+1 \right)=495 = 3^2\cdot 5\cdot 11}$ . Ελέγχοντας τους διαιρέτες του δεξιού μέλους για όρους της μορφής $\displaystyle{2^m+1}$ , έχουμε $\displaystyle{2^m+1}= 5, \, 2^m+1}=9, \, 2^m+1}=33$ . To

βρίσκεται από τον δεύτερο παράγοντα, από τις $\displaystyle{ \left( 2^{2n}-1\right) \left(2^m+1 \right)= 99\cdot 5, \, \left( 2^{2n}-1\right) \left(2^m+1 \right)= 55\cdot 9, \, \left( 2^{2n}-1\right) \left(2^m+1 \right)= 15\cdot 33}$ . Τελικά (n,m)=(2,5)

.

M.

#186

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 84: Αν $\displaystyle{\overline {ab}=2^n a +3^n b, }$ όπου $\displaystyle{a,b \in N^{*}}$ , $\displaystyle{n\in N}$ , να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός $\displaystyle{\overline {ab}}$

$\overline{ab}=2^na+3^nb\iff a(10-2^n)=b(3^n-1)$

n=1,2,3

$n=1:b=4a,~~(a=1,b=4\rightarrow \overline{ab}=14) ~,~(a=2,b=8\rightarrow \overline{ab}=28)$ ικανοποιούν

$n=2:4b=3a,~~(b=3,a=4\rightarrow \overline{ab}=43) ~,~(b=6,a=8\rightarrow \overline{ab}=86)$ ικανοποιούν

n=3: a=13b

δεν προχωράμε.

kleovoulos · #187

Φωτεινή έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 84: Αν $\displaystyle{\overline {ab}=2^n a +3^n b, }$ όπου $\displaystyle{a,b \in N^{*}}$ , $\displaystyle{n\in N}$ , να βρεθεί ο διψήφιος αριθμός $\displaystyle{\overline {ab}}$
$\overline{ab}=2^na+3^nb\iff a(10-2^n)=b(3^n-1)$

$n=1:b=4a,~~(a=1,b=4\rightarrow \overline{ab}=14) ~,~(a=2,b=8\rightarrow \overline{ab}=28)$ ικανοποιούν

$n=2:4b=3a,~~(b=3,a=4\rightarrow \overline{ab}=43) ~,~(b=6,a=8\rightarrow \overline{ab}=86)$ ικανοποιούν

δεν προχωράμε.

Ήμουν έτοιμος να γράψω τη λύση, αλλά με προλάβατε. Αναμένουμε λοιπόν το επόμενο πρόβλημα

#188

ΑΣΚΗΣΗ 86: Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς:

$\displaystyle{a_1 , a_2 , . . . , a_{2013}}$

Δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=(a_1 +a_2 )(a_2 +a_3 ) . . . (a_{2013}+a_1 )}$ είναι άρτιος

kleovoulos · #189

Αφαιρώ τη λύση μου μιας και έκανα μερικά λάθη. Για τη σωστή λύση παρακαλώ να δείτε τις δημοσιεύσεις παρακάτω. Ευχαριστώ.

#190

kleovoulos έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 86: Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς:

$\displaystyle{a_1 , a_2 , . . . , a_{2013}}$

Δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=(a_1 +a_2 )(a_2 +a_3 ) . . . (a_{2013}+a_1 )}$ είναι άρτιος
Εάν δεν κάνω λάθος, γνωρίζουμε ότι κάθε φορά που προσθέτουμε δύο περιττούς αριθμούς, προκύπτει ένας άρτιος (π.χ. εάν οι , ήτανε περιττοί, τότε το θα ήτανε σίγουρα άρτιος). Αυτό βέβαια ισχύει και όταν προσθέτουμε δύο άρτιους αριθμούς μεταξύ τους. Εννοείται βέβαια ότι κανείς δεν μας περιορίζει σε αυτό. Μπορεί να έχουμε πρόσθεση ενός άρτιου και ενός περιττού αριθμού. Βέβαια, αν ένας από τους άλλους όρους είναι περιττός, φτάνουμε σε περιττό αριθμό, που όμως θα μετατραπεί σε άρτιος, διότι ένας τουλάχιστον όρος θα είναι άρτιος, αφού ο πολλαπλασιασμός με άρτιο αριθμό δίνει πάντα άρτιο αριθμό. Συνεπώς, ο αριθμός $\displaystyle{A=(a_1 +a_2 )(a_2 +a_3 ) . . . (a_{2013}+a_1 )}$ θα είναι πάντοτε άρτιος για κάθε $\displaystyle{a_1 , a_2 , . . . , a_{2013}} \in N$ . Ελπίζω η λύση μου να είναι ικανοποιητική.

Κλεόβουλε για ξαναδές το γιατί υπάρχουν ασάφειες και κενά. Για παράδειγμα η λύση σου φαίνεται (αν την κατάλαβα σωστά) να δείχνει ότι και στην περίπτωση του $\displaystyle{A=(a_1 +a_2 )(a_2 +a_3 ) . . . (a_{2012}+a_1 )}$ (έγραψα 2012

στη θέση του 2013

) το γινόμενο θα είναι άρτιο. Να όμως που δεν είναι κατ' ανάγκη άρτιο, π.χ. αν πάρεις $a_1=1, \, a_2=2, \, ...\, , \, a_{2012}=2012$ .

#191

ΑΣΚΗΣΗ 87:
Αν οι πραγματικοί αριθμοί x,y

είναι τέτοιοι ώστε x^2 + xy + y^2 = 4

και

να βρείτε τον x^6 + x^3y^3 + y^6.

gavrilos · #192

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 87:
Αν οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε και να βρείτε τον

Καλησπέρα,

$\displaystyle{x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{2}y^{2}=(x^2+y^2)^2-x^{2}y^{2}=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)=8$

Έτσι , από τον πρώτο αριθμό καταλαβαίνουμε ότι :

$\displaystyle{(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)=4(x^2+y^2-xy)=8 \Leftrightarrow x^2+y^2-xy=2 \Leftrightarrow xy=1}$ και $\displaystyle{x^2+y^2=3}$

και $\displaystyle{x^4+y^4=7}$

$\displaystyle{x^6+y^6+x^{3}y^{3}=x^6+y^6+1=(x^2+y^2)(x^4-x^{2}y^{2}+y^4)+1=3(7-1)+1=19}$ .

#193

ΑΣΚΗΣΗ 88:
Βρείτε τους a,b,c

αν $a^2 + b^2 = 2c, \ 1 + a^2 = 2ac, \ c^2 = ab.$

#194

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 86: Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς:

$\displaystyle{a_1 , a_2 , . . . , a_{2013}}$

Δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=(a_1 +a_2 )(a_2 +a_3 ) . . . (a_{2013}+a_1 )}$ είναι άρτιος

Ας δώσω λύση γιατί το παραπάνω μήνυμά μου ίσως δεν αναγνώσθηκε. Η παραπάνω λύση διορθώνεται αλλά θα δώσω μία διαφορετική.

Αν το γινόμενο $\displaystyle{A=(a_1 +a_2 )(a_2 +a_3 ) . . . (a_{2013}+a_1 )}$ ήταν περιττός, τότε θα ήταν περιττός κάθε παράγοντας.

Δηλαδή θα ήσαν περιττοί οι 2013

παράγοντες $\displaystyle{a_1 +a_2, \, a_2 +a_3, \, . . . \,,a_{2013}+a_1 \, (*) }$ . Επειδή ο 2013

είναι περιττός, θα ήταν περιττό και το άθροισμα των 2013

όρων

. Αλλά αυτό το άθροισμα ισούται με $2(a_1+a_2+...+a_{2013})=$ άρτιος. Άτοπο, και λοιπά.

Μ.

#195

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 88:
Βρείτε τους αν $a^2 + b^2 = 2c, \ 1 + a^2 = 2ac, \ c^2 = ab.$

Με πρόσθεση κατά μέλη, (αφού πρώτα πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της τρίτης εξίσωσης με το $\displaystyle{2}$ , έχουμε:

$\displaystyle{a^2 +b^2 +1+a^2 +2c^2 =2c+2ac+2ab\Leftrightarrow a^2 +b^2 -2ab+a^2 +c^2 -2ac+c^2 +1-2c=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(c-1)^2 =0}$

Άρα πρέπει:

$\displaystyle{a=b , a=c , c=1}$ , δηλαδή: $\displaystyle{a=b=1}$ , τιμές που επαληθεύουν το δοσμένο σύστημα.

#196

ΑΣΚΗΣΗ 89: Αν $\displaystyle{a-b+c=0}$ και $\displaystyle{a,b,c\neq 0}$ , δείξτε ότι:

$\displaystyle{(\frac{a^2 +b^2 -c^2}{2ab})^{2011}+(\frac{b^2 +c^2 -a^2 }{2bc})^{2012}+(\frac{c^2 +a^2 -b^2}{2ac})^{2013}=1}$

EDIT: Διορθώθηκε ένα τυπογραφικό: Αντί $\displaystyle{-1}$ , θέλει $\displaystyle{1}$ στο αποτέλεσμα, όπως φαίνεται από την λύση του gavrilos στην επόμενη δημοσίευση

gavrilos · #197

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 89: Αν $\displaystyle{a-b+c=0}$ και $\displaystyle{a,b,c\neq 0}$ , δείξτε ότι:

$\displaystyle{(\frac{a^2 +b^2 -c^2}{2ab})^{2011}+(\frac{b^2 +c^2 -a^2 }{2bc})^{2012}+(\frac{c^2 +a^2 -b^2}{2ac})^{2013}=-1}$

$\displaystyle{a=b-c}$
$\displaystyle{b=c+a}$
$\displaystyle{c=b-a}$

Για τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος έχουμε :

$\displaystyle{a^2+b^2-c^2=a^2+(b-c)(b+c)=a^2+a(b+c)=a^2+ab+ac=a(a+b+c)=a \cdot 2b=2ab}$ .

Οπότε το κλάσμα γίνεται $\displaystyle{\frac{2ab}{2ab}=1\Leftrightarrow 1^{2011}=1}$

Το δεύτερο κλάσμα γίνεται:

$\displaystyle{\frac{b^2+(c-a)(c+a)}{2bc}=\frac{b^2+b(c-a)}{2bc}=\frac{b^2+bc-ab}{2bc}=\frac{b(b+c-a)}{2bc}=\frac{2bc}{2bc}=1\Leftrightarrow 1^{2012}=1}$ .

Και το τρίτο:

$\displaystyle{\frac{c^2+(a-b)(a+b)}{2ac}=\frac{c^2+(-c)(a+b)}{2ac}=\frac{c^2-ac-ab}{2ac}=\frac{c(c-b-a)}{2ac}=\frac{-2ac}{2ac}=-1\Leftrightarrow (-1)^{2013}=-1}$ .

$\displaystyle{1+1-1=1}$ .

#198

ΑΣΚΗΣΗ 90: Να υπολογίσετε το άθροισμα:

$\displaystyle{A=5+4.5+4.5^2 +4.5^3 + . . . +4.5^{99}}$

(ΣΗΜ: Δεν πρέπει να χρησιμοποιηθεί ύλη του Λυκείου).

kleovoulos · #199

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 90: Να υπολογίσετε το άθροισμα:

$\displaystyle{A=5+4.5+4.5^2 +4.5^3 + . . . +4.5^{99}}$

(ΣΗΜ: Δεν πρέπει να χρησιμοποιηθεί ύλη του Λυκείου).

Παραπάνω εννοείτε 4.5

ή

φορές το

;

#200

kleovoulos έγραψε: Παραπάνω εννοείτε ή φορές το ;

Μη το μπλέκεις με το σύμβολο της υποδιαστολής στους αγγλοσάξονες. Αυτoί γράφουν 4.5

εκεί που εμείς χρησιμοποιούμε το 4,5

.
Οπότε το παραπάνω είναι πολλαπλασιασμός. Αλλιώς θα έγραφε $\displaystyle{A=5+4,5+4,5^2 +4,5^3 + . . . +4,5^{99}}$ .

Η αλήθεια είναι ότι, ορθότερα, το σύμβολο του πολλαπλασιασμού στο ΤΕΧ είναι προτιμότερο να το γράφουμε ως "4\cdot5". Θα εμφανιστεί ως $4\cdot5$ (η κουκκίδα στη μέση).

Μ.

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση