Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

kleovoulos · #161

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72: (α) Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{k}$ , ισχύει :

$\displaystyle{\frac{13}{k(k+13)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+13}}$

Από την εξίσωση $\displaystyle{\frac{13}{k(k+13)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+13}}$ παίρνουμε τους περιορισμούς $k\neq0$ και $k\neq-13$ , περιορισμός ο οποίος δεν μας ενδιαφέρει αφού $k\in N$ . Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι: $EK\Pi=k(k+13)$

Η δοσμένη εξίσωση γίνεται: $\displaystyle{\frac{13}{k(k+13)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+13}}\Leftrightarrow k(k+13) \frac {13}{k(k+13)}=k(k+13)\frac{1}{k}-k(k+13)\frac{1}{k+13} \Leftrightarrow 13=k+13-k$

Άρα η $\displaystyle{\frac{13}{k(k+13)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+13}}$ είναι ταυτότητα για κάθε $k\in N$ και $k\neq0$ .

Garfield · #162

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72: (α) Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{k}$ , ισχύει :

$\displaystyle{\frac{13}{k(k+13)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+13}}$

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα:

$\displaystyle{S=\frac{1}{1.14}+\frac{1}{14.27}+\frac{1}{27.40}+ ... +\frac{1}{1990.2003}}$

(α) Είναι, $\displaystyle{ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+13} = \frac{ k+13}{k(k+13)} - \frac{k}{ k(k+13)} = \frac{ k+13 - k}{k(k+13)} = \frac{13}{k(k+13)} }$ .

(β) Από το (α) έχουμε ότι $\displaystyle{ \frac{1}{k(k+13)} = \frac{1}{13} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+13} \right) }$ . Έτσι βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{ \text{ S} = \frac{1}{1.14}+\frac{1}{14.27}+\frac{1}{27.40}+ ... +\frac{1}{1990.2003} = \frac{1}{13} \left( \left( 1 - \frac{1}{14} \right) + \left( \frac{1}{14} - \frac{1}{27} \right) + \left( \frac{1}{27} - \frac{1}{40} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{1990} - \frac{1}{2003} \right) \right) }$

$\displaystyle{ \implies \text{S} = \frac{1}{13} \left( 1 - \frac{1}{2003} \right) \implies \boxed{ \text{S}= \frac{2002}{ 13 \cdot 2003} }}$

#163

Eίμαστε τώρα σε θέση, να μπορούμε να λύσουμε και την

ΑΣΚΗΣΗ 73: Έστω $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2.3}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{3.4}}+ . . . +\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{98.99}}}$

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A^2 +\frac{2}{\sqrt{198}}}$ , είναι ρητός.

#164

AΣΚΗΣΗ 74: Αν $\displaystyle{x,y \in R^{*}}$ και αν $\displaystyle{x^3 -4y^3 =4xy^2 -x^2 y}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{A=\frac{5x+8y}{2x+5y}}$ , είναι ακέραιος.

#165

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 74: Αν $\displaystyle{x,y \in R^{*}}$ και αν $\displaystyle{x^3 -4y^3 =4xy^2 -x^2 y}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{A=\frac{5x+8y}{2x+5y}}$ , είναι ακέραιος.

Έχω από τη δοθείσα:

$\displaystyle{{x^3} - 4x{y^2} + {x^2}y - 4{y^3} = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) + y\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - y \vee x = 2y \vee x = - 2y}$

Σε κάθε περίπτωση:
1)x=-y

$\displaystyle{A = \frac{{3y}}{{3y}} = 1 \in \mathbb{Z}}$

2)x=2y

$\displaystyle{A = \frac{{18y}}{{9y}} = 2 \in \mathbb{Z}}$

3)x=-2y

$\displaystyle{A = \frac{{ - 2y}}{y} = - 2 \in \mathbb{Z}}$

#166

ΑΣΚΗΣΗ 75: Αν $\displaystyle{x,y \in Z}$ και $\displaystyle{x^6 -y^6 + x^4 y^2 - xy^5 +x^5 y - x^2 y^4 =1}$ , δείξτε ότι:

$\displaystyle{2012 +x^{2} +y = 2013}$

gavrilos · #167

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 75: Αν $\displaystyle{x,y \in Z}$ και $\displaystyle{x^6 -y^6 + x^4 y^2 - xy^5 +x^5 y - x^2 y^4 =1}$ , δείξτε ότι:

$\displaystyle{2012 +{x^2} +y = 2013}$

Θα παραγοντοποιήσουμε την παράσταση και θα έχουμε :

$\displaystyle{x^6+x^4y^2-y^6-x^2y^4-xy^5+x^5y}=x^4(x^2+y^2)-y^4(y^2+x^2)+xy(x^4-y^4)= =(x^4-y^4)(x^2+y^2)+xy(x^4-y^4)=(x^4-y^4)(x^2+y^2+xy)$

$\displaystyle{(x^4-y^4)(x^2+xy+y^2)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)=1}$

Εφαρμόζοντας τη γνωστή ταυτότητα έχουμε :

$\displaystyle{(x+y)(x^2+y^2)(x^3-y^3)=1}$

Για να ισχύει αυτό πρέπει και τα $\displaystyle{3}$ αθροίσματα να είναι ίσα με $\displaystyle{1}$ ή το πρώτο και το τελευταίο να είναι -1 αφού το δεύτερο είναι σίγουρα 1.
Επομένως οι δυνατές τιμές των $\displaystyle{x,y}$ είναι $\displaystyle{0,1,-1}$ με τους εξής περιορισμούς :

α)Δεν μπορούν να είναι και οι δύο αριθμοί $\displaystyle{0}$ γιατί τότε τα αθροίσματα της ισότητας θα ήταν $\displaystyle{0}$
β)Δεν μπορούν και οι δύο αριθμοί να είναι $\displaystyle{1}$ ή και οι δύο $\displaystyle{-1}$ αφού και πάλι τα αθροίσματα δεν επαληθεύουν την ισότητα
Άρα ο ένας αριθμός είναι $\displaystyle{0}$ και ο άλλος είναι $\displaystyle{1}$ ή $\displaystyle{-1}$

Τώρα, διασπούμε ξανά την ισότητα και την φτιάχνουμε ως εξής: $\displaystyle{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)=1}$

Άρα $\displaystyle{(x^2-y^2)=1}$ αφού οι δύο παρενθέσεις απλοποιούνται με το $\displaystyle{1}$ ( $\displaystyle{xy=0}$ )
Αν $\displaystyle{y=-1}$ θα έχουμε : $\displaystyle{x^2-y^2=0-1=-1}$ άρα η ισότητα δεν επαληθεύεται . Οπότε οι πιθανές περιπτώσεις είναι οι εξής :

$\displaystyle{2012+1^2+0=2012+1+0=2013}$ , $\displaystyle{2012+0^2+1=2012+0+1=2013}$ και $\displaystyle{2012+(-1)^2+0=2012+1=2013}$

Και όλες οι περιπτώσεις επαληθεύουν την εκφώνηση ..

#168

ΑΣΚΗΣΗ 76: Αν $\displaystyle{\frac{3a}{b+5c}=\frac{b}{3a+5c}=\frac{5c}{3a+b}}$ , να βρεθεί η τιμή της

παράστασης: $\displaystyle{P=(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{5c}).(2a+b+5c)}$

#169

gavrilos έγραψε:
$\displaystyle{ .\,.\,.\,.}$
$\displaystyle{(x^4-y^4)(x^2+xy+y^2)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)=1}$

Ωραιότατα.

Ας μου επιτραπεί ένα σχόλιο: Είναι πιο απλό να αφήσεις την παραπάνω ως έχει (να μη συγχωνεύσεις όρους). Οπότε, επειδή
$\displaystyle{ x^2+y^2\ge 0\,\,\, x^2+xy+y^2 \ge 0}$ θα είναι ίσα με

. Άρα και $\displaystyle{x-y=x+y=1}$ ή $\displaystyle{x-y=x+y=-1}$ . Και οι δύο περιπτώσεις δίνουν y=0

, οπότε $x=\pm 1$ , δηλαδή x^2=1

, και τελειώσαμε (με ένα σμπάρο δύο τρυγόνια).

Επίσης,

gavrilos έγραψε: $\displaystyle{2012+1^2+0=2012+1+0=2013}$ , $\displaystyle{2012+0^2+1=2012+0+1=2013}$ και $\displaystyle{2012+(-1)^2+0=2012+1=2013}$

Και όλες οι περιπτώσεις επαληθεύουν την εκφώνηση ..

Προσοχή εδώ. Η περίπτωση x=0

δεν υφίσταται και, αν θες, δεν επαληθεύει την εκφώνηση. Οδηγεί στην -y^6=1

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#170

ΑΣΚΗΣΗ 77: Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός $\displaystyle{a}$ ,αν η παράσταση :

$\displaystyle{A=\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}}{2a-1}}$ , είναι αριθμός ακέραιος.

#171

AΣΚΗΣΗ 78: Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d}$ , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c,d}$ είναι

ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα ότι: $\displaystyle{P(19)=1}$ και $\displaystyle{P(62)=2}$ .

gavrilos · #172

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 78: Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d}$ , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c,d}$ είναι

ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα ότι: $\displaystyle{P(19)=1}$ και $\displaystyle{P(62)=2}$ .

Αν $\displaystyle{P(19)=1}$ και $\displaystyle{P(62)=2}$ ίσχυαν ταυτόχρονα τότε θα μπορούσαμε να έχουμε :

$\displaystyle{62^3a+62^2b+62c+d=19^3a+19^2b+19c+d+1$ , το οποίο γίνεται :

$\displaystyle{62^3a-19^3a+62^2b-19^2b+62c-19c=1}\\ {a(62^3-19^3)+b(62^2-19^2)+c(62-19)=1}\\ {a(62-19)(62^2+62\cdot19+19^2)+b(62-19)(62+19)+43c=1}\\ {43a(62^2+62\cdot19+19^2)+43b(62+19)+43c=1}\\ {43(62^2a+62\cdot19a+19^2a+62b+19b+c)}=1$

Φυσικά όταν όλοι οι αριθμοί της παρένθεσης είναι ακέραιοι το αποτέλεσμά της δεν μπορεί να είναι $\displaystyle{\frac{1}{43}}$ .

#173

ΑΣΚΗΣΗ 79: Δείξτε ότι $\displaystyle{\frac{x+n}{n+1}\geq \frac{n+3}{2x+n+1}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in N^{*}, n\in N}$

#174

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 78: Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d}$ , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c,d}$ είναι

ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα ότι: $\displaystyle{P(19)=1}$ και $\displaystyle{P(62)=2}$ .

Αξίζει να αναφερθεί ότι η άσκηση είναι άμεση συνέπεια της εξής απλής πρότασης:

$\displaystyle{\bullet}$ Έστω $\displaystyle{\rm P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots a_{n-1}x+a_n}$ ένα πολυώνυμο με συντελεστές ακεραίους. Αν $\displaystyle{\rm b,c\in \mathbb{Z},~b\ne c}$ , τότε ισχύει

$\displaystyle{\rm (b-c)|\Big(P(b)-P(c)\Big)}$ .

Η απόδειξη είναι απλή εφαρμογή της ταυτότητας

$\displaystyle{\boxed{\rm x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots xy^{n-2}+y^{n-1})}.}$

gavrilos · #175

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 79: Δείξτε ότι $\displaystyle{\frac{x+n}{n+1}\geq \frac{n+3}{2x+n+1}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in N^{*}, n\in N}$

Η ανίσωση γίνεται ως εξής $\displaystyle{(x+n)(2x+n+1)\geq (n+1)(n+3)}$

Κάνουμε τις πράξεις ... $\displaystyle{2x^2+nx+x+2nx+n^2+n\geq n^2+4n+3}\\ {2x^2+3nx-3n+x\geq 3}\\ {x(2x+1)+3n(x-1)\geq 3}$

Ακόμη και αν αντικαταστήσουμε με τις ελάχιστες δυνατές τιμές των μεταβλητών το αποτέλεσμα θα είναι :

$\displaystyle{1(2+1)+3\cdot0(1-1)=3}$ το οποίο επαληθεύει τη σχέση

$\displaystyle{x(2x+1)+3n(x-1)\geq 3}$

Με την χρήση μεγαλυτέρων τιμών το αποτέλεσμα αυξάνεται οπότε η σχέση συνεχίζει να επαληθεύεται ...

#176

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Eίμαστε τώρα σε θέση, να μπορούμε να λύσουμε και την

ΑΣΚΗΣΗ 73: Έστω $\displaystyle{A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2.3}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{3.4}}+ . . . +\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{98.99}}}$

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A^2 +\frac{2}{\sqrt{198}}}$ , είναι ρητός.

Mιας και πλησιάζει ο Πανελλήνιος διαγωνισμός ¨ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ", και δεν έχει απαντηθεί η άσκηση, γράφω την απάντηση:

Εύκολα βλέπουμε ότι: $\displaystyle{\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}}$ , για κάθε

$\displaystyle{n \in N^{*}}$ .

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παλαιώτερα έχουμε δει αρκετές χρήσιμες παρόμοιες σχέσεις, όπως:

(α) $\displaystyle{\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$

EΦΑΡΜΟΓΗ: Να υπολογιστεί το άθροισμα: $\displaystyle{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+ ... +\frac{1}{100.101}}$

(b) Γενικά: $\displaystyle{\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}}$

EΦΑΡΜΟΓΗ: Να υπολογιστεί το άθροισμα: $\displaystyle{\frac{3}{1.4}+\frac{3}{4.8}+ ... +\frac{3}{298.301}}$

(c) $\displaystyle{\frac{n}{1.2.3. ... .n(n+1)}=\frac{1}{1.2.3. ... .n}-\frac{1}{1.2.3. ... .n(n+1)}$

EΦΑΡΜΟΓΗ: Να υπολογιστεί το άθροισμα: $\displaystyle{\frac{1}{1.2}+\frac{2}{1.2.3}+ ... +\frac{100}{1.2.3. ... .100.101}}$

(d) $\displaystyle{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}]}$ )

EΦΑΡΜΟΓΗ: Να υπολογιστεί το άθροισμα: $\displaystyle{\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+ ... +\frac{1}{100.101.102}}$

Tώρα, για την άσκησή μας, έχουμε:

$\displaystyle{Α=(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}})+ ... +(\frac{1}{\sqrt{98}}-\frac{1}{\sqrt{99}})}$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{99}}}$

Άρα: $\displaystyle{A^2 =\frac{1}{2}+\frac{1}{99}-\frac{2}{\sqrt{198}}\Rightarrow A^2 +\frac{2}{\sqrt{198}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{99}}$

και άρα ο $\displaystyle{A^2 +\frac{2}{\sqrt{198}}}$ , είναι ρητός.

#177

AΣΚΗΣΗ 80: Δείξτε ότι ο αριθμός: $\displaystyle{A=3^{2n+3}.4^{2n+3}-2^{2n+1}.6^{2n+3}}$ , είναι τετράγωνος

για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{n}$

#178

ΑΣΚΗΣΗ 81: Δείξτε ότι ο αριθμός :

$\displaystyle{A=\frac{\overline{a1b}+\overline{a2b}+ . . . +\overline{a9b}}{\overline{a5b}}}$ , με $a\neq 0$ , είναι τέλειο τετράγωνο.

(ΣΗΜ: Με $\displaystyle{\overline{xyz}}$ , συμβολίζουμε τον τριψήφιο αριθμό που έχει ψηφίο μονάδων $\displaystyle{z}$ , δεκάδων $\displaystyle{y}$ , και

εκατοντάδων $\displaystyle{x}$ )

#179

ΑΣΚΗΣΗ 82 Να βρείτε το πλήθος των ψηφίων του συνόλου:

$\displaystyle{A=\{x\in N | 2^{2010}<x\leq 2^{2011}\}}$

gavrilos · #180

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 81: Δείξτε ότι ο αριθμός :

$\displaystyle{A=\frac{\overline{a1b}+\overline{a2b}+ . . . +\overline{a9b}}{\overline{a5b}}}$ , με $a\neq 0$ , είναι τέλειο τετράγωνο.

(ΣΗΜ: Με $\displaystyle{\overline{xyz}}$ , συμβολίζουμε τον τριψήφιο αριθμό που έχει ψηφίο μονάδων $\displaystyle{z}$ , δεκάδων $\displaystyle{y}$ , και

εκατοντάδων $\displaystyle{x}$ )

Ο αριθμητής γίνεται $\displaystyle{100a+10+b+100a+20+b+....+100a+90+b=900a+450+9b=9(100a+50+b)}$
Ο παρονομαστής γίνεται $\displaystyle{100a+50+b}$

Οπότε το κλάσμα είναι $\displaystyle{\frac{9(100a+50+b)}{100a+50+b}=9}$ άρα ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση