συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

parmenides51 · #1

Ένα δώρο και για τον Νίκο ...

Μια συγκέντρωση όλων των πρόσφατων αριθμημένων ''συστημάτων'' του Νίκου Ζανταρίδη (nikoszan)
Οι ενδιαφερόμενοι λύτες ας πάνε στην εκάστοτε παραπομπή για άλλες ιδέες.

Συστήματα

01. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt {{x^2} - 4x + 5} = {e^{y - 2}} + 2\\ y + \sqrt {{y^2} - 4y + 5} = {e^{x - 2}} + 2\\ (x,y \in \mathbb{R}) \end{array} \right.$
(εδώ)

02. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y = 2x\\ {y^2} + z = 2y\\ {z^2} + t = 2z\\ {t^2} + x = 2t\\ (x,y,z,t \in \mathbb{R}) \end{array} \right.$
(εδώ)

03. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ {x^{2013}} + {y^{2013}} = {x^{2014}} + {y^{2014}}\\ (x,y \in \mathbb{R}) \end{array} \right.$
(εδώ)

04. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}{\left( {y + z} \right)^2} = \left( {3{x^2} + x + 1} \right){y^2}{z^2}\\ {y^2}{\left( {z + x} \right)^2} = \left( {4{y^2} + y + 1} \right){z^2}{x^2}\\ {z^2}{\left( {x + y} \right)^2} = \left( {5{z^2} + z + 1} \right){x^2}{y^2}\\ (x,y,z \in \mathbb{R}) \end{array} \right.$
(εδώ) από Βιετνάμ

05. Nα λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4\left(y + \frac{1}{y}\right) = 5\left(z + \frac{1}{z}\right) \\ xy + yz + zx = 1\\ \left( {x,y,z \in {\mathbb{R}^ * }} \right) \end{array} \right.$
(εδώ) από Βιετνάμ

06. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {2{y^2} - 1} \right) = 7xy\\ {x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0\\ \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ) από Βιετνάμ

07. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} y + z + yz = 11\\ z + x + zx = 7\\ x + y + xy = 5\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

08. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = \sqrt 3 \\ 2x\sqrt {1 - 4{y^2}} + 4y\sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt 3 \\ \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

09. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = z + 3\\ {y^2} + {z^2} = x + 3\\ {z^2} + {x^2} = y + 3\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

10. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1\\ \sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} = 2\\ \left( {x,y,z \ge 0} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

11. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ {z^2} + {t^2} = 1\\ xz + yt = 0\\ \left( {2x + z} \right)\left( {2y + t} \right) = 2\\ \left( {x,y,z,t \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ) από βιβλίο του Ζουρνά

12. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} = 1\\ \left( {1 - x} \right)\left( {1 + y} \right) = 2\\ \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

13. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} - w = 0\\ {w^2} - {t^2} - x = 0\\ t + 2xy = 0\\ y + 2wt = 0\\ \left( {x,y,w,t \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

14. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = xy + yz + zx + 1\\\\ {x^{2013}} + {y^{2013}} + {z^{2013}} = 2\\\\ \left( {x,y,z \in \left[ {0,1} \right]} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

15. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x\left( {x + 1} \right) = y\\ y\left( {y + 1} \right) = z\\ z\left( {z + 1} \right) = x\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

16. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} \left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) = y\\ \left( {y + 1} \right)\left( {y + 4} \right) = z\\ \left( {z + 1} \right)\left( {z + 4} \right) = x\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$ .
(εδώ)

17. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = - 4\\ {x^4} + {y^4} + {z^4} + {t^4} = 4\\ \left( {x,y,z,t \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

18. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2013}} + {y^{2013}} = {x^3} + {y^3}\\ {x^{2014}} + {y^{2014}} = {x^4} + {y^4}\\ \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

19. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y + z = 1\\ x + {y^2} + {z^2} = 3\\ xy + yz - zx = 1\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{Q}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

20. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 5\\ xy + yz + zx = x + 7\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ) από Gazeta

21. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} xyz =\displaystyle \frac{5}{9}\\ x\left( {z + 5} \right) = 5 - 3{y^2}z\\ \left( {x,y,z \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ) από ΣΜΑ

22. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {2y + 3} \\ y = \sqrt {2z + 3} \\ z = \sqrt {2x + 3} \\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ) από Νιγηρία 2007

23. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{2}{{1 + x}} + 2\sqrt {\frac{{2y}}{{1 + y}}} = 3\\ \\ \displaystyle\frac{2}{{1 + y}} + 2\sqrt {\frac{{2z}}{{1 + z}}} = 3\\ \\ \displaystyle\frac{2}{{1 + z}} + 2\sqrt {\frac{{2x}}{{1 + x}}} = 3\\ \\ \left( {x,y,z \in \left( {0. + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ) από Mihai Bencze 2005

24. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} z\left( {{2^x} + {3^y}} \right) = 5\\ \\ \displaystyle \frac{{{2^y} + {3^x}}}{z} = 5\\ \\ x + y + 2z = {z^2} + 3\\ \\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

25. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{x} + \frac{1}{{y + z}} = \frac{6}{5}\\ \\ \displaystyle\frac{1}{y} + \frac{1}{{z + x}} = \frac{3}{4}\\ \\ \displaystyle\frac{1}{z} + \frac{1}{{x + y}} = \frac{2}{3}\\ \\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.\\ \end{array}}$
(εδώ)

26. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 3x + y + z = 4\\ xy + yz + zx = - 1\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 6\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

27. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {2^x} + {3^y} = 5\\ {2^y} + {3^x} = 5\\ \left( {x,y > 0} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

28. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{y}{x} - 9xy = 2\\ \\ \displaystyle\frac{z}{y} - 9yz = 6\\ \\ \displaystyle \frac{{3x}}{z} - 3zx = 2\\ \\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ) από Ρωσία

29. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 3\\ {x^3} + {y^3} + {z^3} = 3\\ \left( {x,y,z \in \mathbb Z} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ) από Μonthly Problem Sets

30. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{y + z}} + y = \frac{{z\left( {z + x} \right)}}{{x + y}} + x = \frac{{y\left( {y + z} \right)}}{{z + x}} + z\\ \left( {x,y,z \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ) από Mihai Bencze 2005

31. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 36{x^2}y - 27{y^3} = 8\\ 4{x^3} - 27x{y^2} = 4\\ \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ) από Μολδαβία

32. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x + y + z = \frac{1}{3}\\ 2\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) = \left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)\\ \left( {x,y,z \in \left[ {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

33. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 5x + 3 = y\\ {y^2} + 5y + 3 = z\\ {z^2} + 5z + 3 = x\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

34. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 4x = 8y\\ {y^3} - 4y = 8z\\ {z^3} - 4z = 8x\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

35. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = x + 3y + 12\\ {y^3} = - y + 4z + 6\\ {z^3} = 9z + 2x - 32\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

36. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 10\\ {x^7} + {y^7} + {z^7} = 350\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

37. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = 2y\\ {2^y} = 2x\\ \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

38. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {3^{x - y}} = \displaystyle \frac{{6x + 3}}{{x + y + 2}}\\ {\left( {{x^3} + x} \right)^3} + 4{\left( {y + 1} \right)^3} = 10x + 2y + 2\\ \left( {x,y \in \left[ {0, + \infty } \right)} \right) \end{array} \right.}$
(εδώ)

39. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {6{x^2} + 3{y^2}} + \sqrt {6{y^2} + 3{z^2}} + \sqrt {6{z^2} + 3{x^2}} = 6039\\ x + y + z = 2013\\ \left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ)

40. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 0\\ {3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}} + ... + {3^{{x_n}}} = 3\\ \left( {{x_1},{x_2},...,{x_n} \in \mathbb{R}} \right) \end{array} \right.$
(εδώ) από Ρουμανία

parmenides51 · #2

όταν με το καλό ο Νίκος κρίνει ότι έφθασε σε ικανοποιητικό αριθμό το πλήθος των ασκήσεων
θα παρατήσω ο,τι κάνω και θα σας ετοιμάσω ένα φυλλάδιο με τις εκφωνήσεις και τις λύσεις τους
όπως ακριβώς δόθηκαν και θα έχουν δοθεί στις άνωθεν παραπομπές (γι' αυτό καλύτερα να αποφεύγετε τηλεγραφικές λύσεις)

Υ.Γ. Καταχωρήθηκε επίσης στα Φυλλάδια σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά (στην κατηγορία Άλγεβρα)

parmenides51 · #3

Έτοιμο το φυλλάδιο των εκφωνήσεων, το ανεβάζω συνημμένα.

Ξεκίνησα να τσεκάρω σε όλο το

εαν έχουμε ξαναδεί κάποιο σύστημα από τα παραπάνω ή κάποιο παρόμοιο με αυτά.
Όταν ξεμπερδέψω με αυτά θα ξεκινήσω να ετοιμάσω ένα φυλλάδιο με λύσεις / υποδείξεις και των

συστημάτων.
Ευπρόσδεκτες είναι προφανώς και άλλες λύσεις.

Αφιερωμένο στον Νίκο λοιπόν που μας τιμάει με την παρουσία και την συμμετοχή του στο

...

edit : Αλλαγή συμβολισμού συνόλων πχ. από $\displaystyle{R}$ σε $\mathbb{R}$

parmenides51 · #4

καθώς ξεκίνησα να ετοιμάζω το φυλλάδιο με τις δοθείσες λύσεις,
όποιος ενδιαφέρεται να λύσει διαφορετικά κανένα από τα παραπάνω συστήματα, ας ξεκινήσει,
προλαβαίνει δεν προλαβαίνει

parmenides51 · #5

έτοιμο λοιπόν το φυλλάδιο ... αφιερωμένο στον Ν.Ζ.

περιέχει τις παραπάνω 40 ασκήσεις και τις 76 λύσεις που δόθηκαν συνολικά
βγήκε συνολικά 74 σελίδες, συμμετείχαν στις λύσεις 21 άτομα

για τυχόν διορθώσεις μπορείτε να μου στέλνετε προσωπικό μήνυμα ώστε να διορθωθεί σε επόμενη έκδοση

1η έκδοση 09-10-2013 με 76 λύσεις

με βάση τις παραπάνω παραπομπές, δώστε νέες λύσεις και όταν θα ετοιμάζω κάθε φορά νέα έκδοση ως εξής:

2η έκδοση με 80 λύσεις, για να είναι στρογγυλό το νούμερο

3η έκδοση με 85 λύσεις
4η έκδοση με 90 λύσεις
κ.ο.κ.

40 συστήματα του Ν.Ζ με λύσεις (Κατεβάστε το από εδώ) (σελ. 74) (76 λύσεις)

#6

parmenides51 έγραψε:έτοιμο λοιπόν το φυλλάδιο ... αφιερωμένο στον Ν.Ζ.

Καλημέρα και ευχαριστούμε πολύ!

S.E.Louridas · #7

parmenides51 έγραψε: 40 συστήματα του Ν.Ζ με λύσεις (Κατεβάστε το από εδώ) (σελ. 74) (76 λύσεις)

Εδώ δεν μιλάμε για προσφορά αλλά γιά ΤΗΝ προσφορά.
Προσωπικά σε ευχαριστώ.

nikoszan · #8

Μαγικέ parm. σε ευχαριστώ πολυ ,για την συμμετοχή και την δημιουργία του αρχείου.
Ακόμη , ευχαριστώ όλους τους φίλους που με την συμμετοχή τους δημιούργησαν αυτό το αρχείο.
Ν.Ζ.

thanasis kopadis · #9

Καταπληκτική δουλειά!! Ευχαριστούμε πολύ!!!

GMANS · #10

Πολύ ωραία εργασία ,ευχαριστώ πολύ

giannisn1990 · #11

αρκετα βοηθητικα

συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Re: συλλογή συστημάτων από Ν.Ζ.

Μέλη σε σύνδεση