Και μια τρίτη διοφαντική!

#1

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x,y}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{x^3-y^3=xy+61.}$

#2

matha έγραψε:Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x,y}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{x^3-y^3=xy+61.}$

Απάντηση:

.

Παρατηρούμε ότι x^3>61

, οπότε

, κι άρα $x\geq 4$ . Αφού $y\geq 1$ έχουμε

$\displaystyle{0<x-y=\dfrac{xy}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{61}{x^2+xy+y^2}=\dfrac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1}+\dfrac{61}{x^2+xy+y^2}\leq \dfrac{1}{2+1}+\dfrac{61}{16+4+1}=\dfrac{68}{21}<4}$

Άρα $x-y\in \{1,2,3\}$ .

Αν x-y=1

, τότε

, που εύκολα μας δίνει x=6

και

.

Αν

, τότε

και η εξίσωση γίνεται 53=5y^2+10y=

πολ/σιο του 5, άτοπο.

Αν x-y=3

,τότε $x\equiv y\pmod{3}$ και $x^3\equiv y^3\pmod{3}$ κι άρα θα πρέπει $x^2\equiv xy\equiv 2 \pmod{3}$ , που είναι αδύνατο.

Σχόλιο: Το πρόβλημα τέθηκε στη 15η πανενωσιακή μαθηματική ολυμπιάδα του 1981. Μια διαφορετική απόδειξη υπάρχει στο γνωστό βιβλίο των εκδόσεων Κάτοπτρο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

S.E.Louridas · #3

matha έγραψε:Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x,y}$ για τους οποίους ισχύει
$\displaystyle{x^3-y^3=xy+61.}$

Έχουμε:
$\left( {x - y} \right)\left( {x^2 + y^2 + xy} \right) = 61 + xy \Rightarrow x - y > 0$ και $\left( {x - y} \right)^3 + \left[ {\left3( {x - y} \right) - 1} \right]xy = 61.$
Αν θεωρήσουμε $x - y = 1 \Rightarrow xy = 30 \Rightarrow x = 6,\;y = 5.$
Αν θεωρήσουμε $x - y = 2 \Rightarrow 5xy = 53,$ άτοπο.
Αν θεωρήσουμε $x - y = 3 \Rightarrow 8xy = 34,$ άτοπο.
Αν τέλος θεωρήσουμε $x - y \geqslant 4 \Rightarrow 64 + t < 61,\;t > 0,$ άτοπο.

Και μια τρίτη διοφαντική!

Και μια τρίτη διοφαντική!

Re: Και μια τρίτη διοφαντική!

Re: Και μια τρίτη διοφαντική!

Μέλη σε σύνδεση