Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#661

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 301: Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{n^{5}-5n^{2}+4n}{n+2}$ διαιρείται με το για κάθε φυσικό αρίθμό .

Δημήτρη, κάποιο τυπογραφικό λάθος θα υπάρχει. Π.χ. για n=5

ισούται $\frac {3020}{7}$ που δεν είναι καν ακέραιος.

Γενικότερα, βρίσκω $\frac{n^{5}-5n^{2}+4n}{n+2} = n^4-2n^3 +4n^2 -13n +30 - \frac{60}{n+2}$ , από όπου βλέπουμε ότι είναι ακέραιος μόνον αν n+2= 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 , 30 , 60

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#662

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 301: Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{n^{5}-5n^{2}+4n}{n+2}$ διαιρείται με το για κάθε φυσικό αρίθμό .
Δημήτρη, κάποιο τυπογραφικό λάθος θα υπάρχει. Π.χ. για ισούται $\frac {3020}{7}$ που δεν είναι καν ακέραιος.

Γενικότερα, βρίσκω $\frac{n^{5}-5n^{2}+4n}{n+2} = n^4-2n^3 +4n^2 -13n +30 - \frac{60}{n+2}$ , από όπου βλέπουμε ότι είναι ακέραιος μόνον αν .

Φιλικά,

Μιχάλης

Πράγματι Μιχάλη. Υπάρχει τυπογραφικό λάθος σίγουρα. Θα προσπαθήσω να εντοπίσω το λάθος και θα το διορθώσω.

Antonis_Z · #663

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 302:
Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηψία του αριθμού $A=99^{99}-51^{51}$

$99^{99}\equiv -1(mod 100)$ και επίσης $51^{50}\equiv 1(mod 100)$ άρα $51^{51}\equiv 51(mod 100)$ .Με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε $99^{99}-51^{51}\equiv -52(mod 100)$ .
Όμως $-52\equiv48(mod 100)$ .Άρα ο αριθμός τελείωνει σε 48.

#664

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 301: Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{n^{5}-5n^{2}+4n}{n+2}$ διαιρείται με το για κάθε φυσικό αρίθμό .
Δημήτρη, κάποιο τυπογραφικό λάθος θα υπάρχει. Π.χ. για ισούται $\frac {3020}{7}$ που δεν είναι καν ακέραιος.

Γενικότερα, βρίσκω $\frac{n^{5}-5n^{2}+4n}{n+2} = n^4-2n^3 +4n^2 -13n +30 - \frac{60}{n+2}$ , από όπου βλέπουμε ότι είναι ακέραιος μόνον αν .

Φιλικά,

Μιχάλης
Πράγματι Μιχάλη. Υπάρχει τυπογραφικό λάθος σίγουρα. Θα προσπαθήσω να εντοπίσω το λάθος και θα το διορθώσω.

Το τυπογραφικό εντοπίστηκε: Θέλει $5n^{3}$ στον αριθμητή αντί για $5n^{2}$

#665

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 303: Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των τετραγώνων πέντε διαδοχικών ακεραίων δεν είναι ίσο με το τετράγωνο ακεραίου.

Είναι

πολλαπλάσιο του

. Άρα, αν ήταν τέλειο τετράγωνο, θα ήταν της μορφής (5m)^2

, δηλαδή

, που σημαίναι ή n^2+2=5m^2 =

πολλαπλάσιο του

. Όμως οι αριθμοί n^2+2

δεν είναι ποτέ πολλαπλάσια του

(το

αφήνει υπόλοιπα 0,1,2,3,4

, αντίστοιχα, αν διαιρεθεί με το

, οπότε το n^2+2

αφήνει υπόλοιπα 0^2+2=2

ή, αντίστοιχα, $3, \, 1, \, 1, \, 3$ κανένα από τα οποία δεν είναι

.)

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Antonis_Z · #666

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 301:
Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{n^{5}-5n^{3}+4n}{n+2}$ διαιρείται με το για κάθε φυσικό αρίθμό .

Μετά τις παραγοντοποιήσεις και τις απλοποιήσεις έχουμε ότι n(n-1)(n+1)(n-2)

.Αυτοί είναι τέσσερις διαδοχικοί αριθμοί που ανάμεσά τους θα υπάρχει 1 πολαπλάσιο του 4,ένας ακόμα άρτιος και τουλάχιστον 1 πολαπλάσσιο του 3.Χρησιμοποιώντας αυτά τελικά ο αριθμός είναι πολαπλάσιο του 24.

#667

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 301: Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=\frac{n^{5}-5n^{3}+4n}{n+2}$ διαιρείται με το για κάθε φυσικό αρίθμό .

$A=\frac{n^{5}-5n^{3}+4n}{n+2} = n^4-2n^3-n^2+2n = (n-2)(n-1)n(n+1) =$ (γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων). Άρα κάποιος από τους τέσσερεις αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του

, άλλος του

και ένας του

. Όλοι μαζί πολλαπλάσιο του $2\cdot 3\cdot 4 =24$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Με πρόλαβε ο Αντώνης. Το αφήνω για τον κόπο, αν και είναι η ίδια λύση.

#668

Για την άσκηση 302 που ήδη έχει απαντηθεί από τον Αντώνη, είναι χρήσιμο να δώσω και μια λύση, χωρίς τα mod.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 302: Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηψία του αριθμού $A=99^{99}-51^{51}$

Έχουμε:

$99^{99}-51^{51}=(100-1)^{99}-51.51^{51}=\pi o\lambda 100-1-51.(51^{2})^{25}=\pi o\lambda 100-1-51.(2601)^{25}=\pi o\lambda 100-1-51\left[\left(2600+1)^{25} \right) \right]=$

$\pi o\lambda 100-1-51.(\pi o\lambda 2600+1)=\pi o\lambda 100-1-51.\pi o\lambda 100-51=\pi o\lambda 100-52$

Άρα ο δοσμένος αριθμός θα λήγει σε

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πιο πάνω,(σε προηγούμενη δημοσίευση), υπάρχουν τα θεωρητικά στοιχεία για τέτοιου είδους ασκήσεις

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #669

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 308

Σε ένα παραλληλόγραμμο η γωνία είναι ορθή.Από το μέσο του , όπου είναι το μέσο της , φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην που τέμνει τις ευθείες στα σημεία και αντίστοιχα.Να αποδειχθεί ότι .

Το σημείο τομής των

και

,

είναι το μέσο της

αφού στο τρίγωνο DOC

είναι $GH \parallel DO$ και

μέσο της

.
Από το παραλληλόγραμμο BEDG

είναι

και άρα

.
Αρκεί τώρα να δειχθεί ότι OZ=x

. Στο ορθογώνιο DBC

φέρνουμε την

η οποία θα είναι διάμεσος και άρα θα ισούται με DC/2=x

Τελικά από το παραλληλόγραμμο ZOBG

προκύπτει το ζητούμενο

Edit: Παρέλειψα λανθασμένα να πω γιατί το ZOBG

είναι παραλληλόγραμμο. Λόγω ισότητας των τριγώνων ZGD

και

, το G είναι μέσο της ZI. Μετά από ορθογώνιο DZBI, ZG=OB=ZI/2

. Και βέβαια $ZG \parallel OB$

#670

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:

ΑΣΚΗΣΗ 306: Οι διαιρέσεις του και με έναν φυσικό αριθμό
δίνουν υπόλοιπο . Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του .

Την ξεχάσαμε.

Εξ υποθέσεως ο

διαιρεί τον $253-15 = 238=2\cdot7\cdot17$ και τον $525-15=510=2\cdot 3\cdot5\cdot 17$ . Συνεπώς ο

, ως κοινός διαιρέτης των $2\cdot 7\cdot 17$ και $2\cdot 3\cdot 5\cdot 17$ είναι ένας από τους $1, \, 2, \, 17, \, 34$ . Οι δύο πρώτοι απορρίπτονται ως μικρότεροι του υπολοίπου

. Μένουν οι $17, \, 34$ , που βέβαια επαληθεύουν τα δεδομένα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Antonis_Z · #671

Βάζω μια δεύτερη ΛΥΣΗ για το γεωμετρικό θέμα(308).

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 308

Σε ένα παραλληλόγραμμο η γωνία είναι ορθή.Από το μέσο του , όπου είναι το μέσο της , φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην που τέμνει τις ευθείες στα σημεία και αντίστοιχα.Να αποδειχθεί ότι .

Επειδή δεν ξέρω να κάνω σχήματα,μπορείτε να κοιτάτε αυτό του ΛΕΩΝΙΔΑ.

Προφανώς η

διέρχεται από το

.Επίσης

είναι το μέσο της

γιατί $DB\parallel ZE$ και

διάμεσος του τριγώνου ADB

.
Έστω

από το θεώρημα του Θαλή ισχύει ότι AO/OH=2a/a=2=AB/BE

που αυτή γίνεται 2BE=AB

.Αν θέσουμε BE=x , AB=2x

τότε

.Αρκεί τώρα να αποδείξουμε ότι OZ=x

,όμως το τετράπλευρο ZOEC

είναι παραλληλόγραμμο(οι διαγώνιες διχοτομούνται) άρα CE=OZ

.Είναι επίσης DG=GC=BG=x

(BG διάμεσος ορθογωνίου τριγ.) άρα $BE\parallel=GC$ και το τετράπλευρο BGCE

είναι παραλληλόγραμμο,επομένως CE=GB=x

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#672

Φωτεινή,

ευχαριστούμε θερμά που προσθέτεις την εκφώνηση στις λύσεις άλλων που αμέλησαν να παραθέσουν την ερώτηση.

Πραγματικά, η μη παράθεση της εκφώνησης σε ένα thread που έχει περάσει τις 300 ασκήσεις είναι, μη τι άλλο, αδόκιμη πρακτική.

Παρακαλώ όλους να υιοθετήσουν την πρακτική της παράθεσης, διευκολύνοντας και τους αναγνώστες και την Επιμελήτρια του φακέλου.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ και πάλι.

Φιλικά και με εκτίμηση,

Μιχάλης

#673

Θέλω και εγώ να ευχαριστήσω την ακούραστη επιμελήτριά μας Φωτεινή, για τις επεμβάσεις που κάνει προς βελτίωση του κάθε δημοσιεύματος που παρουσιάζει ελλείψεις.

ΑΣΚΗΣΗ 309: Να αποδείξετε ότι $4444444445^{2}+1111111111-4444444444^{2}=10^{10}$

ΑΣΚΗΣΗ 310: Να συγκριθούν οι αριθμοί: $a=3^{183},b=2^{307}-2^{306}-2^{305}$

ΑΣΚΗΣΗ 311: Να αποδείξετε ότι:

$1<\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{17}<2$

ΑΣΚΗΣΗ 312: Να αποδείξετε ότι $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2012}}=\sqrt{2012}-1$

ΑΡΣΕΝΟΗ · #674

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 267: Αν $b^{2}+c^{2}=a^{2},b\neq \pm c$ να υπολογίσετε την παράσταση:

$\frac{b^{3}+c^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b-c}$

(Για την Γ Γυμναασίου)

$\displaystyle{\frac{b^{3}+c^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b-c}=\frac{(b^{3}+c^{3})(b-c)+(b^{3}-c^{3})(b+c)}{b^{2}-c^{2}}=\frac{[(b+c)(b^{2}-bc+c^{2})(b-c)]+[(b-c)(b^{2}+bc+c^{2})(b+c)]}{b^{2}-c^{2}}=}$

$\displaystyle{\frac{(b^{2}-c^{2})(b^{2}-bc+c^{2})+(b^{2}-c^{2})(b^{2}+bc+c^{2})}{(b^{2}-c^{2})}=\frac{(b^{2}-c^{2})[(b^{2}-bc+c^{2})+(b^{2}+bc+c^{2})]}{(b^{2}-c^{2})}=}$

$\displaystyle{(b^{2}-bc+c^{2}+b^{2}+bc+c^{2})=2a^{2}}$

Σημ: χρησιμοποίησα τις ταυτότητες:
$\dispaystyle{a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$
$\dispaystyle{a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 279: Να αποδείξετε ότι η παράσταση $A=3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}$ διαιρείται με το για κάθε θετικό ακέραιο.

(Για την Β Γυμνασίου)

$A=3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}$

$=3^{n}(3^{2}+1)-2^{n}(2^{2}+1)$

$\displaystyle{=3^{n}{\cdot} 10 -2^{n}{\cdot} 5 }$

$\displaystyle{=2{\cdot}5 {\cdot}3^{n}-2^{n}{\cdot}5}$

$\displaystyle{=2{\cdot}5(3^{n}-2^{n-1})}$

$\displaystyle{=10(3^{n}-2^{n-1})}$

Καλό βράδυ!

#675

Να προσθέσω ότι η Αρσενόη, συγγραφέας του αμέσως προηγούμενου θέματος, εμφανίζεται αριστερά του Μπάμπη στην
φωτογραφία εδώ

Μ.

Αρχιμήδης 6 · #676

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 310:
Να συγκριθούν οι αριθμοί: $a=3^{183},b=2^{307}-2^{306}-2^{305}$

Το πλήθος των ψηφίων του a^b

είναι

. (Yπόδειξη:Λύσε την a^b=10^x

)
O $3^{183}$ έχει

ψηφία ενώ ο δεύτερος

ψηφία άρα είναι μεγαλύτερος ο δεύτερος .

#677

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 310: Να συγκριθούν οι αριθμοί: $a=3^{183},b=2^{307}-2^{306}-2^{305}$

Αλλιώς: $2^{307}-2^{306}-2^{305} = 2^{305}(4-2-1) = 2^{305} = 2^{5\cdot 61} = 32^{61} > 27^{61}= 3^{3\cdot 61} = 3^{183}$

M.

ΑΡΣΕΝΟΗ · #678

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:

ΑΣΚΗΣΗ 309: Να αποδείξετε ότι $4444444445^{2}+1111111111-4444444444^{2}=10^{10}$

Για ευκολία...
1111111111=x

αρα

Αρα είναι:
$\dispaystyle{4444444445^{2}+1111111111-4444444444^{2}=}$
$\displaystyle{(4x+1)^{2}+x - (4x)^{2}=}$
$\displaystyle{16x^{2}+8x+1+x-16x^{2}=}$
$\displaystyle{9x+1=}$
$\displaystyle{9{\cdot} 1111111111 +1 = 10^{10}}$

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να προσθέσω ότι η Αρσενόη, συγγραφέας του αμέσως προηγούμενου θέματος, εμφανίζεται αριστερά του Μπάμπη στην
φωτογραφία εδώ

Μ.

Τέτοια φωτογραφία με μαζεμένους τέσσερις σπουδαίους μαθηματικούς-ανθρώπους, και να σε και εσύ μέσα, δε τη βρίσκεις εύκολα... Γι αυτό δε πρόκειται να τη χάσω αλλά ούτε και να τη ξεχάσω

...

καλό βράδυ και πάλι!

spiros filippas · #679

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 312: Να αποδείξετε ότι $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2012}}=\sqrt{2012}-1$

Είναι: $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Άρα $\displaystyle LHS=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2012}-\sqrt{2011}=\sqrt{2012}-1$

#680

ΑΣΚΗΣΗ 313:
Βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων αριθμών (p,q)

τέτοια ώστε οι αριθμοί $p^{2}+q^{3}$ και $q^{2}+p^{3}$ να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

ΑΣΚΗΣΗ 314:
Προσδιορίστε όλους τους θετικούς ακεραίους

με την ιδιότητα: αν ο

διαιρεί τον

τότε διαιρεί και κάθε αριθμό που προκύπτει με αναδιάταξη των ψηφίων του

ΑΣΚΗΣΗ 315:
Υπάρχουν ακέραιοι x,y,z

τέτοιοι ώστε $x^2+ y^2+ z^2 = 2007^{2011};$

ΑΣΚΗΣΗ 316:
Αν ο αριθμός $\overline{2xy977z}$ διαιρείται με τον 792, να βρείτε τα ψηφία x,y,z.

ΑΣΚΗΣΗ 317:
Πόσοι θετικοί ακέραιοι, μικρότεροι ή ίσοι του 500, διαιρούνται με έναν τουλάχιστον από τους αριθμούς 2, 3 ή 5;

ΑΣΚΗΣΗ 318:
Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο

για τον οποίο ο αριθμός n +1

διαιρείται με το 19 και ο αριθμός n-1

διαιρείται με το 96.

ΑΣΚΗΣΗ 319:
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b,c

είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\frac{b+c}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$ και $\displaystyle{\frac{a+c}{b}=\sqrt{3}.}$

α) Να προσδιορίσετε το λόγο $\displaystyle{\frac{a+b}{c}.}$
β) Να δείξετε ότι υπάρχει τρίγωνο με πλευρές a,b,c.

γ) Να προσδιορίσετε τις γωνίες του τριγώνου με πλευρές τα a,b,c.

ΑΣΚΗΣΗ 320:
Βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x^2+y^2-x-y-2=0.

ΑΣΚΗΣΗ 321:
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους που έχουν ακριβώς

(θετικούς) διαιρέτες με άθροισμα 403.

ΑΣΚΗΣΗ 322:
Να λυθεί το σύστημα:
$\displaystyle{\begin{cases} x+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3 \\ y+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=3 \\ z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3 \end{cases}}$

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση