Εξισώσεις 4ου βαθμού

[DreamingMaths]

Ποια είναι η μορφή των ριζών εξισώσεων τετάρτου βαθμού;

[stranger]

Ποια είναι η μορφή των ριζών εξισώσεων τετάρτου βαθμού;

Είναι συνδυασμός εκφράσεων ποσοτήτων με χρήση μόνο ριζικών, πρόσθεσης,αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης των συντελεστών του πολυωνύμου.
Για εξισώσεις 4ου βαθμού τέτοια έκφραση πάντα υπάρχει.
Για 5ου και πάνω δεν υπάρχει πάντα(Abel-Ruffini).
Edit:Δηλαδή να ανήκουν στο ελάχιστο υπόσωμα των μιγαδικών που να περιέχει τους συντελεστές και τα ριζικά τους.

[stranger]

Ενδιαφέρον έχει εδώ να σταθούμε σε ένα σημείο(για να μαθαίνουν και οι νεώτεροι).
Το σημείο κλειδί που ενώνει την σύγχρονη άλγεβρα με τέτοια είδους προβλήματα καθώς και με τα προβλήματα της αρχαιότητας είναι η έννοια του σώματος.
Χωρίς αυτήν την έννοια δεν θα μπορούσαν να λυθούν αυτά τα προβλήματα. Και οι ίδιοι οι αρχαίοι δεν τα είχαν λύσει.Χρειάστηκε να γίνει μια υπέρβαση από τότε.
Η έννοια του σώματος είναι ουσιαστικά ένα σύνολο που αν πάρεις δύο στοιχεία του τότε κάθε βασική πράξη αυτών των στοιχείων ανήκει στο σύνολο.Βασικη πράξη εννοώ πρόσθεση,αφαίρεση,πολλαπλασιασμός και διαίρεση με μη μηδενικό στοιχείο.
Έτσι μπορούμε να αποτυπώσουμε αυστηρά το τι σημαίνει ότι μια ποσότητα γράφεται ως αποτέλεσμα διαδοχικών βασικών πράξεων από ένα σύνολο στοιχείων.