Κάτι μη αρνητικό

[KARKAR]

Την έλαβα πριν λίγο και δεν έχω λύση : Οι : , είναι πραγματικοί . Δείξτε ότι οι :

, δεν γίνεται να είναι όλοι αρνητικοί .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υπάρχει απλή λύση με διανυσματικό λογισμό αλλά αναζητούμε την αλγεβρική

[Mihalis_Lambrou]

Την έλαβα πριν λίγο και δεν έχω λύση : Οι : , είναι πραγματικοί . Δείξτε ότι οι :

, δεν γίνεται να είναι όλοι αρνητικοί .

Υπάρχει απλή λύση με διανυσματικό λογισμό αλλά αναζητούμε την αλγεβρική

Ενδιαφέρον.

Για να υπάρχει, βάζω απλή λύση με Διανύσματα (όπως υπονοεί η φράση με απόκρυψη) εν αναμονή καθαρά
αλγεβρικής.

Κοιτάμε τα τέσσερα διανύσματα . Οι παραστάσεις που δίνονται είναι τα (έξι) εσωτερικά γινόμενα
αυτών των διανυσμάτων. Κάποια από τις γωνίες μεταξύ των τεσσάρων διανυσμάτων είναι υποχρεωτικά μικρότερη ή ίση των (αν ήταν όλες μεγαλύτερες των , ένας πλήρης κύκλος θα ήταν ). Ένα ζεύγος με γωνία μικρότερη ή ίση των έχει το συνημίτονο αυτής της γωνίας . Άρα το εσωτερικό τους γινόμενο είναι επίσης . Aυτό είναι το ζητούμενο.

Η απόδειξη προσαρμόζεται σε Γεωμετρική, με χρήση του Νόμου των συνημιτόνων. Ίσως από εκεί προσαρμόζεται σε καθαρά αλγεβρική. Δεν το κοίταξα.

[Demetres]

Ας δούμε και μια καθαρά αλγεβρική. Δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι καλύτερο. Υποθέτουμε προς άτοπο ότι είναι όλα αρνητικά.

Περίπτωση 1: Τουλάχιστον τρία από τα έχουν το ίδιο πρόσημο. Από συμμετρία μπορώ να υποθέσω τα . Πολλαπλασιάζοντας όλους τους αριθμούς με , τα παραμένουν αρνητικά αλλά τα αλλάζουν πρόσημο. Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι . Τότε . Ομοίως έχω και . Τότε όμως , άτοπο.

Από συμμετρία το ίδιο συμβαίνει αν τουλάχιστον τρία από τα έχουν το ίδιο πρόσημο.

Περίπτωση 2: Κάποιος από τους είναι ίσος με . Από συμμετρία μπορώ να υποθέσω ο . Τότε οπότε τα έχουν το ίδιο πρόσημο, άτοπο.

Άρα από τα δύο είναι θετικά και δύο αρνητικά. Έστω και . Τότε τα και είναι αρνητικά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας και . (Αν π.χ. και τότε αλλάζοντας τις τιμές των αναγόμαστε στην περίπτωση .)

Τότε






Πολλαπλασιάζοντας τα πιο πάνω καταλήγουμε σε άτοπο.

[KARKAR]

Μη αρνητικό.png (8.67 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Τα παρακάτω δείχνουν έναν τρόπο σκέψης και δεν αποτελούν πλήρη λύση :

Υποθέτοντας ότι κανείς από τους πραγματικούς αριθμούς , δεν είναι μηδέν , δημιουργούμε τον πίνακα

του σχήματος , στον οποίο το πολύ στοιχεία της γραμμής όπως και της είναι αρνητικά .

Αν δύο στοιχεία κάποιας στήλης είναι θετικά , θετικό θα είναι και το αντίστοιχο της γραμμής , οπότε τελειώσαμε .

Θεωρώντας λοιπόν τρία αρνητικά στην γραμμή στη γραμμή , μεταβαίνω στην και θεωρώ αρνητικά

τα δύο γινόμενα που βρίσκονται κάτω από θετικά . Τότε όμως ένα άλλο γινόμενο της γραμμής θα είναι θετικό

και θα βρίσκεται κάτω από επίσης θετικό της ...

Σημείωση : Αν : , τότε : ( ομόσημοι )

Σημείωση 2 : Το τελευταίο γινόμενο της γραμμής είναι και όχι