U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα U553 από το τρίτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Αdrian Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας. Είναι ένα καλό θέμα εξάσκησης για πρωτοετείς φοιτητές που παρακολουθούν το υποχρεωτικό μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας. Την εποχή των δεσμών, θα ήταν μία ωραία άσκηση...

Έστω

πίνακας $n\times n$ τέτοιος ώστε $A^{4}=I_{n}.$
Aποδείξτε ότι οι πίνακες $A^{2}+\left ( A+I_{n} \right )^{2}$ και $A^{2}+\left ( A-I_{n} \right )^{2}$ είναι αντιστρέψιμοι.

#2

Απλά παρατηρούμε ότι

$\displaystyle [A^2 + (A+I)^2][A^2+(A-I)^2] = (2A^2+2A+I)(2A^2-2A+I) = 4A^4+I = 5I$

άρα είναι και οι δύο πίνακες αντιστρέψιμοι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 18, 2021 9:43 am

Έστω πίνακας $n\times n$ τέτοιος ώστε $A^{4}=I_{n}.$
Aποδείξτε ότι οι πίνακες $A^{2}+\left ( A+I_{n} \right )^{2}$ και $A^{2}+\left ( A-I_{n} \right )^{2}$ είναι αντιστρέψιμοι.

Για να δούμε τους βαθύτερους λόγους που είναι αντιστρέψιμα.

Έστω

πίνακας $n\times n$ τέτοιος ώστε $A^{4}=I_{n}.$
Αν θεωρήσουμε ένα πολυώνυμο f(x)

ώστε ΜΚΔ

η ισοδύναμα $f(1),f(-1),f(i),f(-i)\neq 0$
τότε ο πίνακας f(A)

είναι αντιστρέψιμος.

1Απόδειξη
Λόγω της ΜΚΔ (f(x),x^4-1)=1

υπάρχουν πολυώνυμα g(x),h(x)

με

Αρα

που δίνει το ζητούμενο.

2Απόδειξη.
Επειδή το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα

είναι διαιρέτης του
x^4-1=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)

θα είναι γινόμενο διαφορετικών πρωτοβαθμίων παραγόντων.
Αρα ο πίνακας

θα είναι διαγωνίσιμος (διαγωνοποιήσιμος).
Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ο f(A)

θα είναι όμοιος με διαγώνιο που τα στοιχεία της διαγωνίου θα είναι
κάποια από τα f(1),f(-1),f(i),f(-i)

.
Επειδή αυτά είναι μη μηδενικά είναι αντιστρέψιμος.

U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση