Αντίστροφος Πινάκας

S3i · #1

Δείξτε ότι για κάθε σύστημα με αντιστρέψιμο πίνακα συντελεστών υπάρχει μια λύση και μάλιστα μοναδική.

Σκεφτόμουνα μια διαφορετική προσέγγιση.

Έστω c_i

η

στήλη. Βλέπω ότι αν ένα $\vec{x}$ είναι λύση τότε $\sum_{1}^{n}c_i x_i =$ $\vec{b}$
με b_i

την i-οστη συντεταγμένη του σταθερού διανύσματος $\vec{b}$ .Αν θεωρήσω τώρα b_i = 0

δηλαδή το αντίστοιχο ομογενές σύστημα ,παρατηρώ ότι η υπάρχει η τετριμμένη λύση και μάλιστα είναι μοναδική. Αυτό το μεταφράζω από Γενική λύση = Ειδική + Ομογενής δεν υπάρχουν ελεύθερες μεταβλητές στο αρχικό σύστημα και μάλιστα ότι καμία στήλη δεν είναι μηδενική. Άρα σε κάθε στήλη υπάρχει ένα ηγετικό στοιχείο και δεξιότερα του
σε κάθε γραμμή καμία ελεύθερη μεταβλητή . Αυτό αποδεικνύει την μοναδικότητα. Έστω ότι είναι ασυμβίβαστο ,τότε από Gauss το σύστημα καταλήγει σε μηδενική γραμμή με μη μηδενικό σταθερό άρα για κάποια στήλη δεν υπάρχει ηγετικό στοιχείο.

βεβαία ο πιο σύντομος δρόμος λέει αφού αντιστρέψιμος , n γραμμικά ανεξάρτητες στήλες στο R^n

άρα παράγουν τον χώρο άρα και το $\vec{b}$

#2

Κάπου μπλέκεις τα πράγματα και κάνεις τα εύκολα, δύσκολα.

Αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, τότε η Ax=b

έχει λύση για τετριμμένους λόγους. Να τη: $x=A^{-1} b$ . Για τους ίδιους τετριμμένους λόγους είναι μοναδική: Αν x_1,x_2

λύσεις, τότε $x_1=A^{-1}Ax_1=A^{-1}b=A^{-1}Ax_2=x_2$ .

Αυτό με το οποίο το μλέκεις είναι το θεώρημα: Αν η οριζουσα του

είναι μη μηδενική τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και αντίστροφα, ισοδύναμα, ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

Αντίστροφος Πινάκας

Αντίστροφος Πινάκας

Re: Αντίστροφος Πινάκας

Μέλη σε σύνδεση