Ορίζουσα

Tolaso J Kos · #1

Για $n \in \mathbb{N}$ και για $1 \leq k \leq n$ να υπολογιστεί η ορίζουσα:

$\displaystyle{\mathcal{D} = \begin{vmatrix} \binom{n}{0} & \binom{n}{1} & \cdots & \binom{n}{k}\\ \binom{n+1}{0} & \binom{n+1}{1} & \cdots & \binom{n+1}{k} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \binom{n+k}{0} & \binom{n+k}{1} & \cdots & \binom{n+k}{k} \end{vmatrix}}$

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Μια προσπάθεια:

Ισχυρίζομαι ότι η ορίζουσα είναι

, τιμή που βρίσκω για n=1

Θα το αποδείξω με ισχυρή επαγωγή στο

.

Έστω ότι ισχύει για κάθε αριθμό μικρότερο είτε ίσο του n-1

.

Θα δείξω ότι ισχύει και για

.

Ισχύει:

$\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{n}{j}=(-1)^k\binom{n-1}{k}$ .

Καταλήγουμε στον ισοδύναμο πίνακα $\begin{bmatrix} \binom{n-1}{0} &\binom{n-1}{1} &... &\binom{n-1}{k} \\ \binom{n}{0}& \binom{n}{1} &... &\binom{n}{k} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \binom{n+k-1}{0} &\binom{n+k-1}{1} &... &\binom{n+k-1}{k} \end{bmatrix}$

ακολουθώντας την εξής διαδικασία:

Στον αρχικό πίνακα αφήνουμε την 1η στήλη ως έχει, προσθαφαιρούμε εναλλάξ τις 2 πρώτες στήλες για να πάρουμε τη δεύτερη στήλη του τελικού πίνακα,..., προσθαφαιρούμε εναλλάξ τις m πρώτες στήλες για να πάρουμε την m-οστή στήλη του τελικού πίνακα,....Χρησιμοποιούμε δηλαδή την ταυτότητα που αναφέρθηκε στην αρχή.Tα πρόσημα μπροστά από τους συντελεστές που μπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά τελικά δίνουν θετικό πρόσημο αν συνεκτιμηθούν.

Επαγωγικά, λοιπόν , καταλήγουμε στον ισοδύναμο πίνακα:

$\begin{bmatrix} \binom{k}{0} &\binom{k}{1} &... &\binom{k}{k} \\ \binom{k+1}{0} & \binom{k+1}{1} &... &\binom{k+1}{k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \binom{2k}{0}&\binom{2k}{1} &... &\binom{2k}{k} \end{bmatrix}$ .

Ισχύει:

$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$ .

Αφήνουμε την 1η γραμμή ως έχει.Αφαιρώντας την 1η γραμμή από τη 2η , την 2η γραμμή από την 3η κ.ο.κ., παίρνω τον ισοδύναμο πίνακα (με χρήση της προηγούμενης ταυτότητας):

$\begin{bmatrix} \binom{k}{0} & \binom{k}{1} &... & \binom{k}{k}\\ 0 & \binom{k}{0} & ... &\binom{k}{k-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0& \binom{2k-1}{1} & ... & \binom{2k-1}{k-1} \end{bmatrix}$

Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με:

$\begin{bmatrix} \binom{k}{0} & \binom{k}{1} &... &\binom{k}{k-1} \\ \binom{k+1}{0} &\binom{k+1}{1} & ... &\binom{k+1}{k-1} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \binom{2k-1}{0}& \binom{2k-1}{1} &... &\binom{2k-1}{k-1} \end{bmatrix}$ .

Ακολουθώντας την 1η διαδικασία, μπορούμε να γράψουμε την ορίζουσα αυτή στην ισοδύναμη μορφή

$\begin{bmatrix} \binom{k-1}{0} &\binom{k-1}{1} &... &\binom{k-1}{k-1} \\ \binom{k}{0}&\binom{k}{1} &... & \binom{k}{k-1}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \binom{2k-2}{0}&\binom{2k-2}{1} &... &\binom{2k-2}{k-1} \end{bmatrix}$ .

Η τελευταία ορίζουσα είναι 1 βάσει της υπόθεσης της ισχυρής επαγωγής.

Τελικά η ζητούμενη ορίζουσα D=1

.

#3

Έστω $r_1,\ldots,r_{k+1}$ οι γραμμές του πίνακα. Για $m=k,k-1,\ldots,1$ , με αυτή τη σειρά, αλλάζω τη γραμμή $r_{m+1}$ στην γραμμή

$\displaystyle \sum_{\ell = 0}^m \binom{m}{l} (-1)^{m-\ell}r_{\ell+1}$

Η ορίζουσα παραμένει η ίδια αφού κάθε φορά προσθαφαιρώ στην $r_{m+1}$ προηγούμενες γραμμές που δεν έχουν ακόμη αλλοιωθεί.

Μετά από αυτές τις αλλαγές στη γραμμή m+1

και στήλη

θα έχω το στοιχείο

$\displaystyle a_{m+1,r+1} = \sum_{\ell = 0}^m \binom{m}{\ell} (-1)^{m-\ell} \binom{n+\ell}{r} = \sum_{\ell = 0}^m \binom{m}{\ell} (-1)^{m-\ell} p_{n,r}(\ell)$

όπου $p_{n,r}(x)$ ένα πολυώνυμο βαθμού

με μεγιστοβάθμιο συντελεστή 1.

Ισχυρίζομαι ότι το $a_{m+1,r+1}$ ισούται με

αν

και

αν

. Αρκεί να δείξω ότι το $\displaystyle \sum_{\ell = 0}^m \binom{m}{\ell} (-1)^{m-\ell} \ell^s$ ισούται με

αν

και

αν

.

Είναι γνωστό όμως ότι το τελευταίο ισούται με S(s,m)

, το πλήθος των διαμερισμών του $\{1,2,\ldots,s\}$ σε

μη κενά υποσύνολα. Αυτό αποδεικνύται χρησιμοποιώντας εγκλεισμό-αποκλεισμό και έχει ως άμεση συνέπεια τον ισχυρισμό μου.

Παίρνω λοιπόν ότι ο καινούργιος πίνακας είναι άνω τριγωνικός με άσσους στην κύρια διαγώνιο. Άρα η ορίζουσα είναι ίση με

.

Ορίζουσα

Ορίζουσα

Re: Ορίζουσα

Re: Ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση