Ανισότητα με πίνακα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ένας $n \times n$ μιγαδικός πίνακας οι ιδιοτιμές του οποίου έχουν απόλυτη τιμή το πολύ

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left \| A^n \right \| \leq \frac{n}{\ln 2} \left \| A \right \|^{n-1}}$
όπου $\left \| A \right \| = \sup \limits_{\left \| x \right \|\leq 1} \left \| A x \right \|$ για κάθε $n \times n$ πίνακα

και $\left \| x \right \| = \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left |x_i \right |^2}$ για κάθε μιγαδικό διάνυσμα $x \in \mathbb{C}^n$ .

Άνευ λύσης.

panos misiakos · #2

Καλησπέρα κ.Τόλη, η άσκηση αυτή έχει προταθεί και σαν θέμα στον IMC.

Για τη λύση μας χρειάζεται η ιδιότητα $||AB||\leq||A||||B||$ της συγκεκριμένης νόρμας, όπως και η τριγωνική ανισότητα .
Πράγματι αν $||A||\leq\frac{n}{\ln 2}$ τότε η ζητούμενη ανισότητα είναι προφανής. Διαφορετικά θα έχουμε $||A||\geq\frac{n}{\ln 2}\geq 1$ .

Από το θεώρημα Cayley-Hamilton γνωρίζουμε ότι $b_nA^n+b_{n-1}A^{n-1}+...+b_0I_n=0_n$ , όπου det(xI_n-A)=b_nx^n+...+b_0

είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

.

Γράφουμε λοιπόν $\displaystyle{b_nA^n=-b_{n-1}A^{n-1}-...-b_0I_n \Rightarrow ||b_nA^n||=||-b_{n-1}A^{n-1}-...-b_0I_n||=||+b_{n-1}A^{n-1}+...+b_0I_n||\leq}$ $\displaystyle{|b_{n-1}|||A^{n-1}||+...+|b_0|||I_n|| \leq |b_{n-1}|||A||^{n-1}+...+|b_0|}$ .

Συνεπώς, βρίσκουμε $||A^n||\leq \frac{|b_{n-1}|}{|b_n|}||A||^{n-1}+...+\frac{|b_0|}{|b_n|}$ . Επιπλέον από τους τύπους Vieta και από το δεδομένο ότι οι ιδιοτιμές έχουν μέτρο μικρότερο της μονάδας βρίσκουμε $\frac{|b_{n-k}|}{|b_n|}\leq \binom{n}{k}$ , δηλαδή μπορούμε να
γράψουμε $||A^n||\leq \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}||A||^{n-k}=(||A||+1)^n-||A||^n$ . Μένει να δείξουμε ότι $(||A||+1)^n-||A||^n\leq \frac{n}{\ln 2}||A||^{n-1}\Leftrightarrow ||A||\left(1+\frac{1}{||A||} \right)^n-||A||\leq \frac{n}{\ln 2}$ . Η αριστερή ποσότητα, όμως έχει μόνο αρνητικές δυνάμεις της νόρμας ||A||

, οπότε είναι φθίνουσα και παίρνουμε
$LHS\leq \frac{n}{\ln 2}\left(1+\frac{\ln 2}{n}\right)^n-\frac{n}{\ln2}\leq \frac{n}{\ln 2}e^{\ln 2}-\frac{n}{\ln2}=\frac{n}{\ln 2}$ , όπως επιθυμούσαμε.

Αξίζει να σημειωθεί ότι δεν χρησιμποιήσαμε τον ορισμό της νόρμας που μας δίνεται. Η άσκηση θα λυνόταν ομοίως αν είχαμε κάποια άλλη νόρμα, η οποία ικανοποιεί την πολλαπλασιαστική ανισότητα που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω. (δεν είμαι σίγουρος ποιες νόρμες την ικανοποιούν)

Η λύση που έδωσα παραπάνω είναι ίδια με την official. Αυτή βρίσκεται στο παρακάτω link μαζί με μία ισχυρότερη έκδοση της ανισότητας.
http://www.imc-math.org.uk/imc2016/imc2 ... utions.pdf

Ανισότητα με πίνακα

Ανισότητα με πίνακα

Re: Ανισότητα με πίνακα

Μέλη σε σύνδεση