Ανισότητα με πίνακα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4001
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ανισότητα με πίνακα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 27, 2018 10:18 am

Έστω A ένας n \times n μιγαδικός πίνακας οι ιδιοτιμές του οποίου έχουν απόλυτη τιμή το πολύ 1. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\left \| A^n \right \| \leq \frac{n}{\ln 2} \left \| A \right \|^{n-1}}
όπου \left \| A \right \|  = \sup \limits_{\left \| x \right \|\leq 1} \left \| A x \right \| για κάθε n \times n πίνακα A και \left \| x \right \| = \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left |x_i  \right |^2} για κάθε μιγαδικό διάνυσμα x \in \mathbb{C}^n.

Άνευ λύσης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
panos misiakos
Δημοσιεύσεις: 77
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 04, 2013 1:35 pm

Re: Ανισότητα με πίνακα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panos misiakos » Πέμ Οκτ 25, 2018 11:14 pm

Καλησπέρα κ.Τόλη, η άσκηση αυτή έχει προταθεί και σαν θέμα στον IMC.

Για τη λύση μας χρειάζεται η ιδιότητα ||AB||\leq||A||||B|| της συγκεκριμένης νόρμας, όπως και η τριγωνική ανισότητα .
Πράγματι αν ||A||\leq\frac{n}{\ln 2} τότε η ζητούμενη ανισότητα είναι προφανής. Διαφορετικά θα έχουμε ||A||\geq\frac{n}{\ln 2}\geq 1 .

Από το θεώρημα Cayley-Hamilton γνωρίζουμε ότι b_nA^n+b_{n-1}A^{n-1}+...+b_0I_n=0_n, όπου det(xI_n-A)=b_nx^n+...+b_0 είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A.

Γράφουμε λοιπόν \displaystyle{b_nA^n=-b_{n-1}A^{n-1}-...-b_0I_n \Rightarrow ||b_nA^n||=||-b_{n-1}A^{n-1}-...-b_0I_n||=||+b_{n-1}A^{n-1}+...+b_0I_n||\leq} \displaystyle{|b_{n-1}|||A^{n-1}||+...+|b_0|||I_n|| \leq |b_{n-1}|||A||^{n-1}+...+|b_0|}.

Συνεπώς, βρίσκουμε ||A^n||\leq \frac{|b_{n-1}|}{|b_n|}||A||^{n-1}+...+\frac{|b_0|}{|b_n|}. Επιπλέον από τους τύπους Vieta και από το δεδομένο ότι οι ιδιοτιμές έχουν μέτρο μικρότερο της μονάδας βρίσκουμε \frac{|b_{n-k}|}{|b_n|}\leq \binom{n}{k}, δηλαδή μπορούμε να
γράψουμε ||A^n||\leq \sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}||A||^{n-k}=(||A||+1)^n-||A||^n. Μένει να δείξουμε ότι (||A||+1)^n-||A||^n\leq \frac{n}{\ln 2}||A||^{n-1}\Leftrightarrow ||A||\left(1+\frac{1}{||A||} \right)^n-||A||\leq \frac{n}{\ln 2}. Η αριστερή ποσότητα, όμως έχει μόνο αρνητικές δυνάμεις της νόρμας ||A||, οπότε είναι φθίνουσα και παίρνουμε
LHS\leq \frac{n}{\ln 2}\left(1+\frac{\ln 2}{n}\right)^n-\frac{n}{\ln2}\leq \frac{n}{\ln 2}e^{\ln 2}-\frac{n}{\ln2}=\frac{n}{\ln 2} , όπως επιθυμούσαμε.

Αξίζει να σημειωθεί ότι δεν χρησιμποιήσαμε τον ορισμό της νόρμας που μας δίνεται. Η άσκηση θα λυνόταν ομοίως αν είχαμε κάποια άλλη νόρμα, η οποία ικανοποιεί την πολλαπλασιαστική ανισότητα που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω. (δεν είμαι σίγουρος ποιες νόρμες την ικανοποιούν)

Η λύση που έδωσα παραπάνω είναι ίδια με την official. Αυτή βρίσκεται στο παρακάτω link μαζί με μία ισχυρότερη έκδοση της ανισότητας.
http://www.imc-math.org.uk/imc2016/imc2 ... utions.pdf


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης