Μία άσκηση σε πίνακες

Tolaso J Kos · #1

Έστω $A, B \in \mathcal{M}\left(\mathbb{Z}\right)$ να 'ναι $3 \times 3$ τετραγωνικοί πίνακες τέτοιοι ώστε AB=BA

και $\det A = \det B=0$ . Αποδείξατε ότι υπάρχουν p, q

(όχι απαραίτητα διαφορετικά) τέτοιοι ώστε:
$\displaystyle{\det \left(A^3+B^3 \right) = p^3+q^3}$ Άνευ λύσης

Tolaso J Kos · #2

Θα θελα να δω μία λύση στην άσκηση αυτή. Οπότε , επαναφορά.

dement · #3

Ονομάζουμε έναν $3 \times 3$ πίνακα "τύπου

" αν δύο από τις στήλες του είναι οι αντίστοιχες του

και η τρίτη η αντίστοιχη του

. Ομοίως ορίζουμε έναν πίνακα τύπου

. Έστω

το άθροισμα των τριών οριζουσών τύπου

και ομοίως το s_B

.

Λόγω της αντιμεταθετικότητας ισχύει $\det(A^3+B^3) = \det(A+B) \det(A-e^{i\pi / 3}B) \det(A-e^{-i\pi / 3}B)$

Λόγω των μηδενικών οριζουσών ισχύουν τα $\det(A+B)=s_A+s_B$ , $\det(A-e^{\pm i \pi / 3}B)=-e^{\pm i \pi / 3} s_A + e^{\pm 2i \pi / 3} s_B$

Έτσι, $\det(A^3 + B^3) = s_A^3 + s_B^3$ .

Tolaso J Kos · #4

Δημήτρη ευχαριστώ. Θα πρέπει να ξανά διαβάσω τη λύση σου για να τη καταλάβω καλύτερα. Θα το κάνω κάποια άλλη φορά μιας και τώρα

dement · #5

Τόλη, είναι όντως γραμμένη κάπως "γρήγορα". Πρόκειται για τη συνήθη παραγοντοποίηση του a^3+b^3

μαζί με το "σπάσιμο" ορίζουσας της οποίας μια στήλη (εδώ τρεις αλλά η ουσία δεν αλλάζει) γράφεται ως άθροισμα στηλών.

Tolaso J Kos · #6

Δημήτρη είχα καταλάβει τη παραγοντοποίηση $a^3+\beta^3$ αλλά αυτό το "σπάσιμο" που λες δε το γνωρίζω καν ήή αν πρόκειται για κάτι γνωστό αυτή τη στιγμή αδυνατώ να καταλάβω περί τίνος πρόκειται. Οπότε αδυνατώ να καταλάβω το άλλο μισό της λύσης σου. Μήπως μπορείς εν συντομία να εξηγήσεις τι είναι αυτό;

dement · #7

Όταν μια στήλη σε μια ορίζουσα γράφεται ως άθροισμα δύο στηλών, η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των αντίστοιχων δύο οριζουσών.

Στην περίπτωσή μας αυτό το κάνουμε σε τρεις στήλες, οπότε έχουμε άθροισμα 2^3=8

οριζουσών, δύο από τις οποίες μηδενίζονται από την εκφώνηση και οι άλλες

μας δίνουν τα s_A, s_B

.

Tolaso J Kos · #8

Ωραία ευχαριστώ ... Το έπιασα τωρα .

Μία άσκηση σε πίνακες

Μία άσκηση σε πίνακες

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

Re: Μία άσκηση σε πίνακες

Μέλη σε σύνδεση