Γραμμική Άλγεβρα

solon28 · #1

Παραθέτω τη συνημμένη άσκηση και παρακαλώ για μια λύση αυτής.
Ευχαριστώ.

#2

Υπόδειξη για το (α)

Το σύστημα γράφεται $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -3 & -2 & \mu \\ -2 & -6 & -\mu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$

Αν αυτό το σύστημα έχει λύση τότε ο πίνακας $\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -3 & -2 & \mu \\ -2 & -6 & -\mu\end{pmatrix}}$ δεν μπορεί να είναι αντιστρέψιμος. Άρα η ορίζουσά του πρέπει να ισούται με 0.

Για το (β)(i): Πρέπει να δείξεις ότι για κάθε $\mathbf{v},\mathbf{w} \in A$ και κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ τότε
(1) $\mathbf{v} + \mathbf{w} \in A$
(2) $\lambda \mathbf{v} \in A$

Θα δείξω μόνο το (2): Αν $\mathbf{v} = (x,y,z)$ τότε x-y=y-z=0

. Έχουμε $\lambda \mathbf{v} = (\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ . Επειδή $\lambda x - \lambda y = \lamda(x-y) = 0$ και $\lambda y - \lambda z = \lambda(y-z) = 0$ τότε $\lambda \mathbf{v} \in A$ .

Για την βάση του Α: Βρες πρώτα ένα μη μηδενικό διάνυσμα $\mathbf{v}$ που να ανήκει στο Α. Αν κάθε διάνυσμα του Α είναι της μορφής $\lambda \mathbf{v}$ για κάποιο $\lambda \in \mathbb{R}$ τότε τελείωσες. Αν όχι βρες ένα διάνυσμα $\mathbf{u}$ που να ανήκει στο Α αλλά να μην γράφεται στην μορφή $\lambda \mathbf{v}$ για κάποιο $\lambda \in \mathbb{R}$ . Αν κάθε διάνυσμα του Α είναι της μορφής $\lambda \mathbf{v} + \mu \mathbf{u}$ για κάποια $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ τότε τελείωσες. Αν όχι πρέπει να βρεις διάνυσμα $\mathbf{w}$ που να ανήκει στο Α και να μην είναι της πιο πάνω μορφής κ.ο.κ.

Γραμμική Άλγεβρα

Γραμμική Άλγεβρα

Re: Γραμμική Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση