Ανισότητα ορίζουσας

Tolaso J Kos · #1

Έστω $A, B \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{R} \right)$ και $\mathrm{rank}(B)=1$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\det \left ( A + B \right) \det \left ( A - B \right ) \leq \left ( \det A \right )^2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 15, 2019 8:32 pm
Έστω $A, B \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{R} \right)$ και $\mathrm{rank}(B)=1$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\det \left ( A + B \right) \det \left ( A - B \right ) \leq \left ( \det A \right )^2}$

Αφού $\mathrm{rank}(B)=1$
θα είναι
$B=PKP^{-1}$
οπου ο

εχει μόνο την πρώτη στήλη μη μηδενική.
Εστω ότι είναι η
$(b_{1},b_{2},..,b_{n})^{\top }$
Από τις ιδιότητες των οριζουσών έχουμε
$\displaystyle\det \left ( A + B \right) \det \left ( A - B \right)$
$\displaystyle=\det\left ( A + PKP^{-1} \right) \det \left ( A - PKP^{-1} \right)=\det\left ( A + K \right) \det \left ( A - K \right)$

Αν $(a_{1},a_{2},..,a_{n})^{\top }$

η πρώτη στήλη του πίνακα

τότε αναπτύσσοντας ως προς την πρώτη στήλη έχουμε

$\displaystyle\det \left ( A + K \right) \det \left ( A - K\right)=(\sum (a_{i}+b_{i})D_{i})(\sum (a_{i}-b_{i})D_{i})$ $\displaystyle=(\sum a_{i}D_{i})^{2}-(\sum b_{i}D_{i})^{2}\leq (\sum a_{i}D_{i})^{2}=\det \left ( A \right)^{2}$

Ανισότητα ορίζουσας

Ανισότητα ορίζουσας

Re: Ανισότητα ορίζουσας

Μέλη σε σύνδεση