Κανονικοί πίνακες

[Denise]

Έστω Α κανονικός μιγαδικός πίνακας. Δείξτε ότι ο Α* είναι πολυώνυμο του Α. (το πολυώνυμο έχει μιγαδικούς συντελεστες)

[nsmavrogiannis]

Πρόκειται για θεώρημα χαρακτηρισμού των κανονικών πινάκων. Ισχύει δηλαδή και το αντίστροφο. Η δυσκολία με ερωτήματα που θέτουν οι φοιτητές είναι ότι δεν ξέρουμε (εμείς οι υπόλοιποι) ποιές είναι οι δεδομένες προτάσεις (η "θεωρία") και επομένως τι απομένει να αποδειχθεί. Η απόδειξη, κατα τα φαινόμενα, δεν είναι τετριμμένη και θέλει κάποια προετοιμασία, κάποια προαπαιτούμενα, που βέβαια ποικίλουν ανάλογα με το ποιό σύγγραμμα είναι σημείο αναφοράς. Πάντως μία απόδειξη μπορείς να βρεις στο:
http://planetmath.org/encyclopedia/Proo ... rices.html
Μαυρογιάννης

[Denise]

Σας ευχαριστώ! την απόδειξη την είχα σχεδόν ολοκληρώσει και μου έμενε να απόδείξω ότι υπάρχει πολυώνυμο στο C[x] τέτοιο ώστε η εικόνα του πάνω στις διακεκριμένες ιδιοτιμές του πολυωνύμου να είναι οι συζυγές ιδιοτιμές που τελικά υπάρχει και αποδεικνύεται με την ορίζουσα του Vandermonde.

[Mihalis_Lambrou]

Έστω Α κανονικός μιγαδικός πίνακας. Δείξτε ότι ο Α* είναι πολυώνυμο του Α. (το πολυώνυμο έχει μιγαδικούς συντελεστες)

Απολύτως σωστά αυτά που επισημαίνει ο Νίκος παραπάνω.
Παραθέτω μία μικρή παραλλαγή της απόδειξης που παραπέμπει, που νομίζω ότι είναι συνηθέστερη από την σκοπιά της Συναρτησιακής Ανάλυσης (στις πεπερaσμένες διαστάσεις).
Τα κύρια βήματα είναι:

Από το φασματικό θεώρημα για κανονικούς (normal) τελεστές είναι
. Άρα . Εδώ τα Ε είναι προβολές σε κάθετους ανά δύο υποχώρους που τέμνονται μόνο στο (0), οπότε για λ, μ διαφορετικά, ενώ (*).
Αν τώρα p το πολυώνυμο (βαθμού το πολύ N-1, όπου Ν η διάσταση του χώρου) με , εύκολα βλέπουμε από τις (*) ότι , όπως θέλαμε.

Ας προσθέσω ότι η ύπαρξη του εν λόγω πολυωνύμου γίνεται με Vandermonde αλλά, καλύτερα, από τον τύπο παρεμβολής του Langrange (με οποιεσδήποτε τιμές στη θέση των ).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου