Υπολογισμός ορίζουσας

ksofsa · #1

Μια δική μου κατασκευή (δε γνωρίζω αν είναι γνωστή άσκηση):

Έστω $P(n,m,l,k)=\sum_{t=l}^{m-1+l}(n+t)^k$ .

Υπολογίστε την ορίζουσα:

$det\begin{bmatrix} P(n,m,0,0) &P(n,m,1,0) & ... &P(n,m,m-1,0) \\ P(n,m,0,1) &P(n,m,1,1) & ... &P(n,m,m-1,1) \\ ...& ... & ... & ... \\ P(n,m,0,m-1) & P(n,m,1,m-1) & ... & P(n,m,m-1,m-1) \end{bmatrix}$

και δείξτε, με αυτόν τον τρόπο, ότι είναι ανεξάρτητη του

.

Dimessi · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ksofsa · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Dimessi · #4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Dimessi έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 27, 2025 10:31 am
Θα μου επιτρέψεις όμως να πω ότι η άσκηση στερείται πλούτου ιδεών αν την λύσεις με ορθόδοξο τρόπο .

Δημήτρη, ξέροντας τον Κώστα, πίστεψέ με ότι όλες του οι λύσεις είναι ... ουρανοκατέβατες. Δεν αμφιβάλλω ότι έχει κάποιον άσσο στο μανίκι του και για την συγκεκριμένη άσκηση.

Dimessi · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 27, 2025 12:51 pm

Dimessi έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 27, 2025 10:31 am
Θα μου επιτρέψεις όμως να πω ότι η άσκηση στερείται πλούτου ιδεών αν την λύσεις με ορθόδοξο τρόπο .
Δημήτρη, ξέροντας τον Κώστα, πίστεψέ με ότι όλες του οι λύσεις είναι ... ουρανοκατέβατες. Δεν αμφιβάλλω ότι έχει κάποιον άσσο στο μανίκι του και για την συγκεκριμένη άσκηση.

Ούτε εγώ αμφιβάλλω απλά είμαι περίεργος να δω πόσο κομψή μέσα στην απλότητα της θα είναι η λύση του

Πάντα οι λύσεις του είναι το πολύ τεσσάρων γραμμών

ksofsa · #7

Γράφω τη λύση:

Έστω πίνακες:

$B=\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 & ... &0 \\ \binom{1}{0}& 1 & 0 & ... & 0\\ \binom{2}{0} & \binom{2}{1} & 1 & ... & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... \\ \binom{m-1}{0} & \binom{m-1}{1} & \binom{m-1}{2} & ... & 1 \end{bmatrix}$

και ο πίνακας Vandermonde:

$V_{m}=\begin{bmatrix} 1 &1 &1 & ... &1 \\ 1 &2 &3 & ...&m \\ 1 &2^2 &3^2 &... &m^2 \\ ... & ... & ... & ...& ... \\ 1 &2^{m-1} & 3^{m-1} &... &m^{m-1} \end{bmatrix}$

Έστω

ο πίνακας του οποίου ψάχνουμε την ορίζουσα και ο οποίος διασπάται ως εξής:

$A=B^{n-1}V_{m}+B^nV_{m}+...+B^{n+m-2}V_{m}=(B^{n-1}+B^{n}+...+B^{n+m-2})V_{m}$ ,

πράγμα που παρατηρούμε ότι ισχύει λόγω της εφαρμογής του διωνυμικού θεωρήματος σε κάθε επιμέρους γινόμενο πινάκων.

Γενικά, σε κάθε εφαρμογή του πίνακα

στον πίνακα $V_{m}$ παίρνουμε έναν πίνακα Vandermonde, όπου η m-άδα (2,...,m+1)

έχει πάρει τη θέση της (1,...,m)

κτλ.

Το σύνολο των κάτω τριγωνικών πινάκων με άσσους στη διαγώνιο είναι κλειστό στον πολλαπλασιασμό πινάκων.

Τελικά,

$det(A)=m^mdet(V_{m})$ , όπου το $det(V_{m})$ έχει γνωστό τύπο, συνάρτηση του

.

Υπολογισμός ορίζουσας

Υπολογισμός ορίζουσας

Re: Υπολογισμός ορίζουσας

Re: Υπολογισμός ορίζουσας

Re: Υπολογισμός ορίζουσας

Re: Υπολογισμός ορίζουσας

Re: Υπολογισμός ορίζουσας

Re: Υπολογισμός ορίζουσας

Μέλη σε σύνδεση