Γινόμενο πινάκων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\frac{p_n}{q_n}$ το

-th convergent του συνεχούς κλάσματος:

$\displaystyle{\frac{p_n}{q_n} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \displaystyle \frac{1}{a_2 + \displaystyle \frac{1}{a_3 + \ddots \displaystyle \frac{1}{a_n}}}}}$
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} p_n & p_{n-1} \\ q_n & q_{n-1} \\ \end{pmatrix} = \prod_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} a_k & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}$
Άνευ λύσης ...

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 18, 2025 12:02 am
Έστω $\frac{p_n}{q_n}$ το -th convergent του συνεχούς κλάσματος:

$\displaystyle{\frac{p_n}{q_n} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \displaystyle \frac{1}{a_2 + \displaystyle \frac{1}{a_3 + \ddots \displaystyle \frac{1}{a_n}}}}}$
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} p_n & p_{n-1} \\ q_n & q_{n-1} \\ \end{pmatrix} = \prod_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} a_k & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}$

Πρώτα απ' όλα ας επισημάνω μία μικρολεπτομέρεια ότι το συνεχές κλάσμα έχει άπειρους όρους. ενώ αυτό που εικονίζεται παραπάνω είναι το κλάσμα κομμένο σε

όρους. Με λίγα λόγια, ο συμβολισμός πρέπει να διορθωθεί.

Από εκεί και πέρα η άσκηση είναι τετριμμένη. Με επαγωγή θέλουμε να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} p_{n+1} & p_{n} \\ q_{n+1} & q_{n} \\ \end{pmatrix} ={ \begin{pmatrix} p_n & p_{n-1} \\ q_n & q_{n-1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n+1} & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}}$

ισοδύναμα

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} p_{n+1} & p_{n} \\ q_{n+1} & q_{n} \\ \end{pmatrix} ={ \begin{pmatrix} a_{n+1}p_n +p_{n-1} & p_{n} \\ a_{n+1}q_n +q_{n-1} & q_{n-1} \\ \end{pmatrix}$

δηλαδή

$p_{n+1} = a_{n+1}p_n +p_{n-1}$ και $q_{n+1} = a_{n+1}q_n +q_{n-1}$

Αλλά αυτός είναι ο πρώτος-πρώτος και απλούστατος τύπος που μαθαίνει κανείς όταν ξεκινήσει να διαβάζει συνεχή κλάσματα. Τον βρίσκει στην πολύ αρχή οποιουδήποτε βιβλίου με συνεχή κλάσματα. Π.χ. στην Wikipedia εδώ είναι στην παράγραφο που λέει Formulation, λίγες γραμμές πιο κάτω στο Three term recurrence relation.

Ουσιαστικά η άσκηση είναι τετριμμένη επαναδιατύπωση του αναγωγικού αυτού τύπου με πίνακες. Τίποτα άλλο.

Γινόμενο πινάκων

Γινόμενο πινάκων

Re: Γινόμενο πινάκων

Μέλη σε σύνδεση