Μηδενικό γινόμενο πινάκων

nikos_el · #1

Έστω δύο $\displaystyle{n\times n}$ πίνακες $\displaystyle{A,B\in\mathcal{M}_n\left(\mathbb{R}\right)}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{A^2=A}$ , $\displaystyle{B^2=B}$ και $\displaystyle{\left(A+B\right)^2=A+B}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{AB=-BA=\mathbb{O}}$ .

(Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία, Φελλούρης Α.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

nikos_el έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 24, 2019 4:26 pm
Έστω δύο $\displaystyle{n\times n}$ πίνακες $\displaystyle{A,B\in\mathcal{M}_n\left(\mathbb{R}\right)}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{A^2=A}$ , $\displaystyle{B^2=B}$ και $\displaystyle{\left(A+B\right)^2=A+B}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{AB=-BA=\mathbb{O}}$ .

(Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία, Φελλούρης Α.)

Δεν νομίζω να παρουσιάζει ενδιαφέρον.
Αν δεν κάνω λάθος τέτοιες ασκήσεις παίζανε όταν υπήρχαν οι δέσμες.

Από την $\displaystyle{\left(A+B\right)^2=A+B}$
κάνοντας το ανάπτυγμα
και χρησιμοποιώντας τις δοσμένες σχέσεις προκύπτει
$\displaystyle{AB+BA=\mathbb{O}}$
πολλαπλασιάζοντας από δεξια με

και μετά από τα αριστερά χρησιμοποιώντας
τις $\displaystyle{A^2=A}$ , $\displaystyle{B^2=B}$
παίρνουμε

$\displaystyle AB+BAB=0,BAB+BA=0$

από τις οποίες προκύπτει το ζητούμενο.

Μηδενικό γινόμενο πινάκων

Μηδενικό γινόμενο πινάκων

Re: Μηδενικό γινόμενο πινάκων

Μέλη σε σύνδεση