Διαστάσεις αναπαραστάσεων

#1

(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική μη αβελιανή ομάδα τάξεως

.
(β) Έστω

η πιο πάνω ομάδα. Πόσες κλάσεις συζυγίας έχει η

;
(γ) Ποιες είναι οι διαστάσεις των ανάγωγων αναπαραστάσεων της

;

Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Harvard, Φθινόπωρο 2016.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

1)Ειναι φανερό ότι υπάρχουν υποομάδες με

και

στοιχεία.

Η υποομάδα έστω

με

στοιχεία είναι μοναδική.

Αν υπήρχε και άλλη έστω

τότε $H\cap K=\left \{ 1 \right \}$

και το

θα είχε

στοιχεία ΑΤΟΠΟ.

Ετσι η

θα είναι κανονική.

Εστω ότι αυτή παράγεται από το

(είναι κυκλική)

Επίσης έστω

το στοιχείο που παράγει μία υποομάδα με

στοιχεία.

Εχουμε ότι η αρχική ομάδα παράγεται από τα a,b

είναι $a^{7}=1,b^{3}=1$

και επειδή δεν είναι αβελιανή $ab\neq ba$

Λόγω της κανονικότητας της

θα έχουμε

$b^{-1}ab=a^{k}$

προκύπτει ότι $b^{-2}ab^{2}=b^{-1}a^{k}b=a^{k^{2}}$

και όμοια $a=b^{-3}ab^{3}=a^{k^{3}}$

Αρα $k^{3}=1mod7$ οπότε k=2,4

Ετσι θα έχουμε ότι $b^{-1}ab=a^{2}\vee b^{-1}ab=a^{4}$

Οι δύο φαινομενικά διαφορετικές ομάδες που προκύπτουν

είναι ισόμορφες.εδώ έχω ένα κενό

Αρα υπάρχει ακριβώς μια μη αβελιανή ομάδα με

στοιχεία.

2)Ως γνωστόν το πλήθος των στοιχείων μιας κλάσης συζυγίας διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Αρα κάθε κλάση συζυγίας έχει

η

στοιχεία.

Μια κλάση συζυγίας είνα το $\left \{ 1 \right \}$ .

Αν $b^{-1}ab=a^{2}$ τότε εχουμε τις κλάσεις $\left \{ a,a^{2},a^{4} \right \}$

και $\left \{ a^{3} ,a^{5},a^{6}\right \}$

Επειδή το άθροισμα των στοιχείων των άλλων κλάσεων είναι

αναγκαστικά θα υπάρχουν

άλλες δύο κλάσεις που θα έχει

στοιχεία η κάθε μία.

Αρα έχουμε

κλάσεις συζυγίας.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Οι δύο φαινομενικά διαφορετικές ομάδες που προκύπτουν

είναι ισόμορφες.εδώ έχω ένα κενό

Έστω $G = \langle a,b: a^7=1, b^3=1, b^{-1}ab = a^2\rangle$ και $H = \langle c,d: c^7=1, d^3=1, d^{-1}cd = c^4\rangle$

Ο ισομορφισμός δίνεται θέτοντας $c=a,d=b^2=b^{-1}$ . Τα c,d

γεννούν την

και ικανοποιούν c^7 = 1,d^3=1

και πιο σημαντικά $d^{-1}cd = b^{-2}ab^2 = b^{-1}(b^{-1}ab)b = b^{-1}a^2b = (b^{-1}ab)^2 = a^4 = c^4$ .

Για το (γ) θα χρησιμοποιήσουμε τα εξής τρία βασικά αποτελέσματα

(1) Το πλήθος των ανάγωγων αναπαραστάσεων ισούται με το πλήθος των κλάσεων συζυγίας.
(2) Η διάσταση κάθε ανάγωγης αναπαράστασης διαιρεί την τάξη της ομάδας.
(3) Το άθροισμα των τετραγώνων των διαστάσεων των ανάγωγων αναπαραστάσεων ισούται με την τάξη της ομάδας.

Αν λοιπόν $d_1,\ldots,d_5$ οι διαστάσεις, πρέπει d_i|21

για κάθε

και $d_1^2 + \cdots + d_5^2 = 21$ . Δεν μπορούμε να έχουμε d_i = 7

ή

για κάποιο

. Πρέπει λοιπόν d_i = 1

ή

για κάθε

. Η $d_1^2 + \cdots + d_5^2 = 21$ δίνει d_1 = d_2 = d_3 = 1

και

.

Διαστάσεις αναπαραστάσεων

Διαστάσεις αναπαραστάσεων

Re: Διαστάσεις αναπαραστάσεων

Re: Διαστάσεις αναπαραστάσεων

Μέλη σε σύνδεση