Ταυτοδύναμος πίνακας

Mathletic · #1

Γειά σας,

ένας πίνακας

λέγεται ταυτοδύναμος αν A^2=A

.

Έστω ότι ο

είναι ένας $m\times n$ - πίνακας και ότι ο $(X^TX)^{-1}$ υπάρχει.

Θέλω να δείξω ότι ο $A=I_m-X(X^TX)^{-1}X^T$ είναι ταυτοδύναμος.

Έκανα τα εξής:

$A^2 =A\cdot A=(I_m-X(X^TX)^{-1}X^T)\cdot (I_m-X(X^TX)^{-1}X^T) \\ =I_m(I_m-X(X^TX)^{-1}X^T)-X(X^TX)^{-1}X^T(I_m-X(X^TX)^{-1}X^T) \\ =I_mI_m-I_mX(X^TX)^{-1}X^T-X(X^TX)^{-1}X^TI_m+(X(X^TX)^{-1}X^T)(X(X^TX)^{-1}X^T) \\ =I_m-X(X^TX)^{-1}X^T-X(X^TX)^{-1}X^T+X(X^TX)^{-1}(X^TX)(X^TX)^{-1}X^T \\ =I_m-2X(X^TX)^{-1}X^T+XI_n(X^TX)^{-1}X^T \\ =I_m-2X(X^TX)^{-1}X^T+X(X^TX)^{-1}X^T \\ =I_m-X(X^TX)^{-1}X^T =A$

Είναι όλα σωστά; Θα μπορούσα να βελτιώσω κάτι;

#2

Mathletic έγραψε: Είναι όλα σωστά; Θα μπορούσα να βελτιώσω κάτι;

Σωστά, αλλά πλατειάζεις σε υπερβολικό βαθμό. Θα μπορούσες να συμμαζέψεις πολλά από τα περιττά βήματα χωρίς να παραβιάζεις τον κανόνα που θέλουν την λιτότητα ως χαρακτηριστικό των Μαθηματικών. Όπως και να είναι, να μία ευκολότερη μέθοδος:

Έχουμε από την υπόθεση

$\displaystyle{ I_m- A = X(X^TX)^{-1}X^T\, {\color {red}(*)}}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη έχουμε

$\displaystyle{ I_m- 2A + A^2= X{\color {blue}(X^TX)^{-1}X^TX}(X^TX)^{-1}X^T= X{\color {blue}I_n}(X^TX)^{-1}X^T = I_m- A }$ (η τελευταία ισότητα είναι από την ${\color {red}(*)}$ .

Με άλλα λόγια δείξαμε $\displaystyle{ I_m- 2A + A^2= I_m- A }$ , από όπου αμέσως $\displaystyle{ A^2= A }$

Mathletic · #3

Κατάλαβα!

Ευχαριστώ πολύ!

Ταυτοδύναμος πίνακας

Ταυτοδύναμος πίνακας

Re: Ταυτοδύναμος πίνακας

Re: Ταυτοδύναμος πίνακας

Μέλη σε σύνδεση