Μια άλλη λύση είναι η εξής: $i{z^3} + {z^2} - z + i = 0 \Leftrightarrow i{z^2}\left( {z - i} \right) = z - i \Rightarrow {\left| z \right|^2}\left| {z - i} \right| = \left| {z - i} \right| \Rightarrow z = i \vee \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1$ :tongue: :heli: το ίδιο πράγμα 15...

Έστω $v,w$ δύο διαφορετικοί και μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί . Να αποδείξετε ότι για κάθε $z \in C$ με $|z| = 1$ ,ισχύει $|zw + \bar w| \leqslant |zv + \bar v|$ αν και μόνο αν υπάρχει $ k \in [ - 1,1)$ τέτοιος ώστε $w = kv.$ ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Άλλαξα το διάστημα στο οποίο θα ανήκει το κ. Συγκριμένα έκανα τ...

Έστω και τρεις μιγαδικοί αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο τέτοιοι ώστε και . Για κάθε με να αποδείξετε ότι .

Η πηγή των προηγούμενων ασκήσεων http://tekoclasses.com/images/compnum001.pdf Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς $z,w$ που ικανοποιούν τις: (α) : $\left| {1 + z + w} \right| = \left| {1 + z} \right| = 1$ (β): $\left| {zw\left( {z + w} \right)} \right| = 2\left( {\left| z \right| + \left| w \right|} ...

Μια λύση που είδα είναι η εξής: Το μηδέν προφανώς δεν είναι ρίζα της εξίσωσης, Για $x\ne 0$ ρίζα της εξίσωσης έχουμε: $\displaystyle{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2 + ax + \frac{b}{x} = 0 \Rightarrow \left( {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{4} + ax} \right) + \left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac...

Ας υπάρχει και μια τέτοια.

Να λύσετε την εξίσωση .

Έστω ώστε . Να βρείτε την μέγιστη τιμή του μέτρου του με

Έστω μιγαδικοί αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο τέτοιοι ώστε . Να βρείτε τον .

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει μιγαδικός αριθμός $z$ τέτοιος ώστε $\left| z \right| < \frac{1}{3}$ και ${a_n}{z^n} + {a_{n - 1}}{z^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{z^{n - 2}} + ... + {a_1}z + {a_0} = 1,n \in N,n \geqslant 3$ με $\left| {{a_i}} \right| < 2,\forall i \in \left\{ {0,1,2,3,...,n} \right\}$. Θεωρεί...

Για τους μιγαδικούς αριθμούς και να αποδείξετε ότι: αν και μόνο αν ή .

:coolspeak: Μία λύση που έκανα και εγώ είναι σαν του Αλέξανδρου $i{z^3} + {z^2} - z + i = 0 \Rightarrow \left( {z - i} \right)\left( {i{z^2} - 1} \right) = 0$ κτλ (έκανα χόρνερ με την φανταστική μονάδα :mrgreen: αν και μπορεί να γίνει ομαδοποίηση). Έχω και άλλη αντιμετώπιση. Δεν ξέρω τι ήθελε να δει...

Εάν ο μιγαδικός ικανοποιεί την τότε να δείξετε ότι .


Μια άσκηση που σηκώνει πολλαπλή αντιμετώπιση .

Εάν είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος και να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ώστε να ισχύει

Εάν είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος και με τότε να βρείτε τους .

Δημιουργούνται απορίες που μπορούμε να αποφύγουμε στην τάξη (πως από το συγκεκριμένο σχήμα "πάμε" στο οποιοδήποτε τυχαίο;). Βασίλη καταλαβαίνω τι λες και τι είδους λύση θέλεις για το αρχείο! Η γνώμη μου είναι ότι πρέπει να ενισχύουμε την ανάπτυξη τέτοιων μεθόδων ιδιαίτερα αν προέρχονται ως ιδέες απ...

Ακριβώς Αλέξανδρε αυτό κάνουμε. Κάνουμε και αλλαγή κλίμακας (θεωρούμε άλλο μοναδιαίο). Ανέφερα παραπάνω ότι θέλω να τα αποφύγουμε αυτά. Αν προέρχεται από μαθητή θα το πάρουμε σωστό αλλά προσωπικά τέτοιες λύσεις τις αποφεύγω όπως και τις ασκήσεις που επιδέχονται μόνο τέτοιες λύσεις. Αυστηρά αν το δού...

Όχι είναι μια χαρά (για την ακρίβεια πρέπει να είναι και η πιο κομψή), αλλά θέλω να αποφύγουμε την τοποθέτηση του σχήματος "βολικά" στο σύστημα αξόνων. Γενικά να αποφύγουμε μεταφορές ισομετρικές, σύμμορφες με στροφή κτλ . Δημιουργούνται απορίες που μπορούμε να αποφύγουμε στην τάξη (πως από το συγκεκ...

Κάποια άλλη λύση εδώ; Ήδη μου έχει σταλεί μία σωστή σε πμ.
Εκκρεμούν 93 που πρέπει να έχω κάνει εσφαλμένη μεταφορά, μια εντός ύλης λύση στην 91 η 90 και η 87.

Εξ αρχής είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι ο $z$ δεν είναι ίσος με την μονάδα. Έχουμε $|1 + z + {z^2} + {z^3} + \cdots {z^9}| = 1 \Rightarrow \left| {\frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}} \right| = 1 \Rightarrow \left| {{z^{10}} - 1} \right| = \left| {z - 1} \right| \Rightarrow$ $\left( {{z^{10}} - 1} \ri...

Έστω $z \in C$ ώστε ${z^{2017}} = 1$ με $z \ne 1$ . Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{2017} {\frac{1}{{1 + {z^n}}}}$ Καλημέρα! Μία διαφορετική προσέγγιση. Το άθροισμα γράφεται: $\dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{1}{1 + z^2} + ... + \dfrac{1}{1 + z^{2016}} + \dfrac{1}{1 + z^{2017...