Δίνεται ένας $5 \times 5$ πίνακας αποτελούμενος από $25$ μοναδιαία τετράγωνα, ένας θετικός ακέραιος $k \leqslant 25$ και απεριόριστος αριθμός $L$-σχημάτων οποιουδήποτε τύπου. Δυο παίκτες, ο $A$ και ο $B$ παίζουν το ακόλουθο παιγνίδι: Ξεκινώντας με τον $A$, σημειώνουν εναλλάξ σε κάθε κίνησή τους ένα...

Πρόβλημα 3: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$. Οι ευθείες $\ell_1$ και $\ell_2$ είναι κάθετες στην $AB$ στα σημεία $A$ και $B$ αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσον $M$ του $AB$ προς τις πλευρές $AC$ και $BC$ του τριγώνου τέμνουν τις ευθείες $\ell_1$ και $\ell_2$ στα σημεία $E$ και $F$ αντίστοιχ...

Πρόβλημα 1: Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς $a,b,c$ και όλους τους θετικούς ακεραίους $k$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{ a^2+b^2+16c^2 = 9k^2+1.}$ Βρίσκουμε $\displaystyle{a^{2}+b^{2}+c^{2}\equiv 1\pmod 3}$.Δεδομένου ότι $\displaystyle{a^2,b^2,c^2\equiv 0,1\pmod 3}$,ακριβώς δύο από ...

Γεια σου Θανάση. Έστω $\displaystyle{f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1:P(x,y)}$.Εύκολα βλέπουμε πως η $\displaystyle{f}$ δεν είναι σταθερή. $\displaystyle{P(x,0):f(-1)+f(x)f(0)=-1}$.Αν $\displaystyle{f(0)\neq 0}$ τότε η $\displaystyle{f}$ θα ήταν σταθερή,αδύνατο.Επομένως $\displaystyle{f(0)=0}$ και $\displayst...

Γεια σου Θανάση. 7. Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle{\displaystyle{\begin{cases} x^3 + 9x^2y = 10 \\ y^3 + xy^2 = 2 \end{cases}}}$ Πολλαπλασιάζουμε την δεύτερη σχέση με $\displaystyle{27}$ και προσθέτουμε με την πρώτη.Παίρνουμε $\displaystyle{x^3+9x^2y+27xy^2+27y^4=64\Leftrightarrow (x+3y)^3=64\L...

Καλησπέρα. Γεωμετρια mathematica_147.PNG Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο $\displaystyle{c}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ κι έστω $\displaystyle{N\equiv HM\cap c}$.Ως γνωστόν το $\displaystyle{N}$ είναι το αντιδιαμετρικό του $\displaystyle{B}$. Επομένως $\displaystyle{AN\parallel C_{1}H}$.Ο στ...

Ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-x}{x-2}=3\Leftrightarrow \lim_{x\to 2} \frac{f(x)-2-(x-2)}{x-2}=3\Leftrightarrow \lim_{x\to 2} \frac{f(x)-2}{x-2}=4}$. Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\to 2} f(x)-2=\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-2}{x-2}\cdot \lim_{x\to 2} x-2=4\cdot 0=0\Leftrightarrow \lim_{x\t...

$\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 1} \frac{\frac{f(x)}{\sqrt{x}-1}}{\frac{g(x)}{\sqrt{x+3}-2}}\cdot \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+3}-2}=\frac{\lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-1}}{\lim_{x\to 1} \frac{g(x)}{\sqrt{x+3}-2}}\cdot \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{...

Καλησπέρα.Τι βρίσκει κανείς σκαλίζοντας!Η ευθεία των $\displaystyle{A',B',C'}$ είναι ίδια με την ευθεία των $\displaystyle{K,L,M}$ του προβλήματος $\displaystyle{2}$ της φετινής BMO. Θα κάνω λοιπόν για αυτό το πρόβλημα κάτι παρόμοιο με αυτό που είχα κάνει στο διαγωνισμό. Γεωμετρια mathematica_146.PN...

ΑΣΚΗΣΗ 6 Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι ώστε $a+b+c=1.$ Να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{bc+a+1}{a^2+1}+\frac{ca+b+1}{b^2+1}+\frac{ab+c+1}{c^2+1}\leq \frac{39}{10}.}$ Διαφορετικά,θα μπορούσαμε να πούμε τα εξής: $\displaystyle{\sum_{cyc} \frac{bc+a+1}{a^2+1}\leq \sum_{cyc} \...

Γεια σου Μιχάλη. Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\left(|x|+|x|+1+2\sqrt{|x|\left(|x|+1\right)}\right)^{\frac{x}{2}}+\left(\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}\right)^{x}=2\sqrt{2}}$. Ισοδύναμα $\displaystyle{\left(\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}\right)^{x}+\left(\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}\right)^{x}=2\sqrt{2}}$ ή αλλιώς ...

Γεια σας κύριε Κώστα. ΛΗΜΜΑ : Το $\displaystyle{BCTU}$ είναι εγγράψιμο όπου $\displaystyle{U,T}$ τα σημεία επαφής της μιας από τις δύο κοινές εφαπτομένες με τους κύκλους $\displaystyle{(A,D,B),(A,D,C)}$ αντίστοιχα. Γεωμετρια mathematica_145(1).PNG ΑΠΟΔΕΙΞΗ : Όπως και στο σχήμα του κύριου Κώστα,$\dis...

Καλησπέρα. Γράφω για να πω δύο πράγματα Πρώτον,για να μην περάσουν λανθασμένα μηνύματα σε αυτούς που διαβάζουν,αν και απόλυτα σωστή,η χρήση των τύπων τριωνύμου συχνά δεν είναι η ενδεδειγμένη. Το πρώτο πράγμα που προσπαθεί κανείς όταν δει την εξίσωση $\displaystyle{2x^{4}+13x^{3}+33x^{2}+55x+25=0}$ ε...

Geometry 3 Έστω $\Omega$ και $O$ ο περιγεγραμμένος κύκλος και το περίκεντρο ενός οξυγωνίου τριγώνου $ABC$ με $AB>BC.$ Η διχοτόμος της γωνίας $B$ τέμνει τον $\Omega$ στο $M.$ Έστω $\Gamma$ ο κύκλος διαμέτρου $BM.$ Οι διχοτόμοι των γωνιών $\angle{AOB},\angle{BOC}$ τέμνουν τον $\Gamma$ στα σημεία $P,Q...

Γ.4 Θέλουμε να υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{\xi \in (x_{1},1)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\frac{3}{2}-f(\xi)=-\xi f'(\xi)}$. Έστω $\displaystyle{h(x)=x f'(x)-f(x)+\frac{3}{2}=x e^{x-1}-1-e^{x-1}+\ln x+\frac{3}{2}=e^{x-1}(x-1)+\ln x+\frac{1}{2} \ ,x>0}$. Τότε $\displaystyle{h'(x)=e^{x-1}(x-1)+e^...

Β.3 Η εξίσωση $\displaystyle{\frac{1}{4}x^{2}=x-1}$ έχει μοναδική λύση το $\displaystyle{x=2}$.Άρα η ευθεία $\displaystyle{y=x-1}$ εφάπτεται της παραβολής στο $\displaystyle{M}$. Επίσης είναι παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{y=x-3}$ και η απόστασή τους είναι ίση με $\displaystyle{\sqrt{2}}$. Πρ...

Καλησπέρα.Ορίστε τα θέματα εδώ. Θέμα Β. Β.1 Έστω $\displaystyle{z=x+yi}$. Τότε η πρώτη εξίσωση γράφεται $\displaystyle{x^{2}+(y-3)^{2}-18=(x-3)^{2}+y^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-6y-9=x^{2}-6x+9+y^{2}\Leftrightarrow \boxed{x-y=3}}$,που είναι το ζητούμενο. Β.2 Έστω $\displaystyle{w=x+yi}$. Τότε η ...

Καλησπέρα.Ορίστε τα θέματα εδώ.

Κάπως διαφορετικά. Αρκεί να ισχύει $\displaystyle{\frac{x^2+y^2}{6}+\frac{2}{3}\geq \frac{3xy}{xy+x+y}\Leftrightarrow x^2+y^2+4\geq \frac{18xy}{xy+x+y}\Leftrightarrow (x^2+y^2+4)(xy+x+y)\geq 18xy}$. Ισοδύναμα $\displaystyle{x^{3}y+xy^{3}+x^{2}y+xy^{2}+x^{3}+y^{3}+4x+4y\geq 14xy}$.Αυτή όμως είναι η Α...

Γεια σας κύριε Νίκο.Εκτός ύλης η λύση μου. Ισχύει η σχέση $\displaystyle{a^{\log b}=b^{\log a}}$.Επομένως η εξίσωση είναι ισοδύναμη με $\displaystyle{x^{\log 2}+8=(x-8)^{\frac{1}{\log 2}}}$. Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^{\log 2}+8=2^{\log x}+8 \ ,x\in (8,+\infty)}$ είναι $\displaystyle{1-1}$.Επ...