Παλαιολόγος.pngΧωρίζουμε τις ακτίνες $OA , OB$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σε τμήματα $OK=y , KA=x$ και $OL=x , LB=y$ . Οι κύκλοι $(K , KA)$ και $(L , LB)$ , τέμνονται στα σημεία $T , P$ , ενώ η ευθεία $TP$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο $S$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA...

Γωνιολογία σε ισόπλευρο.png Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC,$ τυχόν σημείο $D$ της πλευράς $AB$ και σημείο $E$ της $AC$ ώστε $DE||BC.$ Το $K$ είναι περίκεντρο του τριγώνου $ADE$ και το $M$ μέσο του $BE.$ α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $KMC.$ β) Αν επιπλέον $A\widehat CK=B\widehat CM$ να υπολογ...

Γνωστό εμβαδόν, άγνωστη θέση.png Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a=4.$ Στη μεσοκάθετο του $BC$ και εκτός του τετραγώνου, θεωρώ ένα σημείο $S.$ Να βρείτε τη θέση του $S$ αν είναι γνωστό ότι $(ASC)=7.$ $ \dfrac{4}{ \dfrac{7}{2} }= \dfrac{(ODC)}{(OCS)}= \dfrac{DK}{KS}= \dfrac{4}{x+2} \Rightarrow x= ...

Εγκεντρικότητες.pngΤο σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Αν : $\widehat{BAE}=2\widehat{ABE}$ , δείξτε ότι : $AE+AC=BC$ . Οι κόκκινες γωνίες είναι $2 \theta $ ,άρα $AB//CZ$ κι επειδή $CZ=EZ=ZB=AC$ και $ABZC$ ισοσκελές τραπέζιο ,θα είναι $BC=AZ=AE+EZ=AE+AC$ εγκεντρικότητες..png

Εγκεντρικότητες.pngΤο σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Αν : $\widehat{BAE}=2\widehat{ABE}$ , δείξτε ότι : $AE+AC=BC$ . Αν ο κύκλος $(A,E,B)$ τέμνει την $CA$ στο $Z$, εύκολα προκύπτει η ισότητα των γωνιών ίδιου χρώματος . Έτσι $AE=AZ$ και $ BC= ZC =AZ+AC=AE+AC$ εγκεντρικότητες.png

Ώρα εφαπτομένης 176.pngΓια την διχοτόμο $CD$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ . $AD.DB=CD.DE\Rightarrow CD^2=CD.CE \Rightarrow DE=CD \Rightarrow EM=b$ και προφανώς $AD= \dfrac{c}{4} $ $tan \theta = \dfrac{AC}{AD}= \dfrac{BM}{ME} \Rightarrow ...

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑

Κυρ Μάιος 05, 2024 12:29 am

K.Π..png


Χριστός Ανέστη.

Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου συναρτήσει του , αν γνωρίζετε ότι .

Χρόνια πολλά.

Εμβαδόν.png Στο πιο πάνω σχήμα να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου , $ABC$ Η ισότητα των γωνιών $\theta $ είναι προφανής.Άρα $AD=DK=4$.Επειδή $ \omega > \theta \Rightarrow c >4$ Ισχύει $4^2=BK.KE=c(10-c) \Leftrightarrow c^2-10c+16=0\Rightarrow c=8$ ή $c=2$.Άρα $ c=8$ και $KE=EZ=2$ $ \dfrac{EZ}{c...

Λογάριθμος.png$\bigstar$ Τα σημεία $M , N$ είναι μέσα των πλευρών $BC , CD$ του - πλευράς $a$ - τετραγώνου $ABCD$ . α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : $DS , ST , TM$ . γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ; $2= \dfrac{AD}{C...

Έστω $O$ το κέντρο ημικυκλίου διαμέτρου $AB = 2R$. Ας είναι $C$ εσωτερικό σημείο της ακτίνας $OB$. Θεωρούμε την ευθεία $g$ , κάθετη στην $AB\,$ στο $C$. Σημείο $M$κινείται επί του ημικυκλίου . Οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ τέμνουν την $g$ στα $P,\,T\,.\,$ Σταθερά τμήματα_ εκφώνηση.png α) Δε...

Παραπλήσιοι λόγοι.pngΣτην πλευρά $AB$ του τετραγώνου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ADP}=30^\circ$ . Στην προέκταση της $PD$ , θεωρούμε σημείο $S$ , έτσι ώστε : $CS=CA$ . α) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{CD}{DS}$ και : $\dfrac{AP}{PB}$ . β) Δείξτε ότι ο δεύτερος λόγος έχε...

Διαδοχικοί όροι Γ.Π.png Η διάμεσος $BN$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC (\widehat A=90^\circ)$ τέμνει το ύψος $AD$ στο $P$ και έστω $E$ η προβολή του $P$ στην $AC.$ Να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων $AE, AP, EC$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι η $BE$ διέρχεται από τ...

Τερατώδες ύψος.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ τέμνει την $AC$ στο $S$ . Υπολογίστε το $h$ , αν : $DS=5$ . ΜΕ $M $ μέσον της $BC$ είναι $MS=4$ και $BD=DM=2$ κι από θ.διαμέσου στο τρίγωνο $MSB$ παίρνουμε $ BS= \sqrt{42} $ κι από Π.Θ $CS= \sqrt{22}$ $tan \theta = \dfrac{CS}{SB}= \dfrac{CD}{h} \Rightar...

Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , $AD,BE,CZ$ τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$. Αν $M$ το μέσο του $BC$ δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,...

Αποχρώντες λόγοι.pngΠροεκτείνουμε την πλευρά $AB=a$ , του τετραγώνου $ABCD$ και προς τις δύο κατευθύνσεις , κατά τμήματα $AS=BP=x$ . α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\dfrac{SC}{SP}=1$ β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{SC}{CP}$ ( και αυτονόητα , το τότε $x$ ) . Αλλιώς για το πρώτο ερώτημα...

2024.04.13 mathematica.jpg Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά $m, x, n$ Δείξτε ότι: $x²+x(m+n)-2mn=0$ Το θ.εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο $ABE $ δίνει $ \dfrac{c}{AE}= \dfrac{m}{x} \Rightarrow \dfrac{c}{ \dfrac{AE}{2} }= \dfrac{2m}{...

2024.04.21 symmedian mathematica r.jpg Έστω παραλληλόγραμμο $ABCD$. Αν $E, F, G$ οι ορθές προβολές του $A$ στις $BC, CD, BD$ αντίστοιχα, δείξτε οτι η $AG$ είναι $A-$συμμετροδιάμεσος του $AEF$ Λόγω των εγγράψιμμων $ABEG,AGFD$ κι επειδή $AF\bot AB,AE\bot AD$ όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες όπως κα...

Εντοπισμός σημείου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $OAB$ , είναι : $OA=2OB=2a$ . Στο εξωτερικό ημικύκλιο , διαμέτρου $OB$ , εντοπίστε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $(BSA)=\dfrac{1}{2}(OAB)$ . Με $M$ μέσον της $OA$ θα είναι $ (BMA)=\dfrac{(OAB)}{2}= (BSA) \Rightarrow MS//AB$ Το $S$ προσδιορίζεται λοιπόν ως η ...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου $ABCD.$ Ο περίκυκλος του $\triangle EKM$ τέμνει την $AB$ στο $N$ και την $CD$ στο $P$ Είναι $\angle KPB=45^0 \Rightarrow PB=BK=x$ κι έστω $AK=y$.Επειδή οι κόκκινες γωνίες προφανώς είναι ίσες και $\angle AMK=45^0 \Rightarrow \angle NMB...

Γωνίες ειδικού τραπεζίου.png Δίνεται τραπέζιο $ABCD (AB||CD)$ με $CD=2AB=2AD=2a$ και $\dfrac{AC}{BD}=\sqrt 7.$ Να βρείτε την πλευρά $BC=x,$ συναρτήσει του $a,$ καθώς και τις γωνίες του τραπεζίου. Αν $E$ συμμετρικό του $A$ ως προς $B $ και $BC \cap DA=Z$ έχουμε $AECD$ παραλ/μμο. Επιπλέον ,θα είναι $...