Κυψελοτρίγωνο.pngΤα σημεία $P , T$ του σχήματος κινούνται , έτσι ώστε το τρίγωνο $SPT$ να είναι πάντα ορθογώνιο στο $S$ . α) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . β) Για ποια θέση του $S$ , είναι : $(SPT)=2ab$ ; α) Θέτουμε $AP=x$. Τότε από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $APS, BST$ έχουμε $ST= \...

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(a,b,c)}$ θετικών ακεραίων $\displaystyle{a,b,c,}$ που ικανοποιούν την εξίσωση: $\displaystyle{a! + b! = 2^{c!}.}$ . ζεύγη (τριάδες!) Λόγω συμμετρίας μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε $a\ge b$. Δεν μπορεί να είναι $a\ge b\ge 3$ γιατί τότε το αριστερό μέ...

Αχαρτογράφητα νερά.pngΤο σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη $5$ . Οι $QO , SP$ τέμνονται στο σημείο $T$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $T$ . Λογισμικό ; :no: αχαρτογ.png . Έστω $Q(a,-1)$ οπότε $P(a+5,-1)$. Οι ευθείες $QO, SP$ είναι αντίστοιχα οι ...

Ας προσπαθήσει κάποιος... Δίνω ένα hint: Γίνεται να είναι όλα τα $\displaystyle{p,q,r}$ περιττοί πρώτοι; Αν όχι, πάρτε χωρίς απώλεια της γενικότητες ότι $\displaystyle{p=2,}$ τι παρατηρείται; Περιττεύει να δώσεις hint, όχι μόνο γιατί είναι τετριμμένο, αλλά γιατί δεν πέρασαν οι 24 ώρες που αφήνεις.

Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b$ με $a+b=2$, ισχύει: $\displaystyle \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \ge a^{2} + b^{2}. $ . Είναι $2=a+b \ge 2\sqrt {ab}$, άρα $\sqrt {ab} \le 1$, ισοδύναμα $ab\le 1$. Άρα $ a^2 + b^2 = \dfrac{a^2b^2}{b^2} + \dfrac{a^2b^2}{a^...

Το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το $D$ είναι το ίχνος του ύψους $AD$, τα $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι $(M, B, D)$, $(N, C, D)$ εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το αντίστροφο της πρότασης αυτής. εφαπτ κύκ.png . Επειδή η...

Αν : $xy=\dfrac{3}{2}$ και : $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{5}{3}$ , βρείτε τις πιθανές τιμές του κλάσματος : $\dfrac{x+y}{x-y}$ . . Πρώτα απ΄ όλα μπορούμε να βρούμε, ακόμα καλύτερα, τα ίδια τα $x,y$, οπότε η αριθμητική τιμή της ζητούμενης παράστασης είναι άμεση. Πέρα από αυτό νομίζω όμως ότ...

Γιώργο και Γιώργο, ευχαριστούμε.

Είχαμε παλαιότερα στο φόρουμ δει μερικά ονόματα ανθρώπων που άφησαν το στίγμα τους στην Μαθηματική παιδεία του τόπου

εδώ

Καλό είναι κάθε τόσο να τους θυμόμαστε.

Σημείο για μεγιστοποίηση.pngΑπό σημείο $S$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB=d$ , ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ και χορδή $PT \parallel AB$ . Υπολογίστε το τμήμα $SP$ , όταν μεγιστοποιείται το $(SPT)$ . σημ μεγ.png . $(SPT)=(KPT)= \dfrac {1}{2} PT\cdot h=\dfrac {1}{2}\cdot 2KL\c...

Μεσοκαθετότητα.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , το σημείο $N$ είναι το μέσο της διαμέσου $BM$ . Αν : $BM=5 $ , $ AC=6$ και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου . μεσοκαθετότητα.png . Mε αρχή των αξόνων το $S$ είναι $A(0,2a), \, C(2c,0)$, οπότε $M(c,a)$. Αφού το $N$ είναι στον άξονα των $y$ κα...

Κατασκευή ισοσκελούς.pngΝα κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο $ABC , (AB=AC)$ , στο οποίο αν φέρουμε το ύψος $BD$ , την διχοτόμο $BE$ και την διάμεσο $BM$ , να είναι : $DE=EM$ . κατασκευή.png ' Έστω $BC=a, \, AB=AC=b$. Από τα όμοια τρίγωνα $ABK, BCD$ έχουμε $\dfrac {b}{a/2}= \dfrac {a}{CD}$. Άρα $CD= ...

Έστω $x,y$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $x+y=1$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1. $ Για ποιες τιμές των $x$ και $y$ ισχύει η ισότητα; . Από Α.Μ.-Γ.Μ. είναι $2\sqrt {xy} \le x+y=1$, οπότε $\dfrac {1}{xy}\ge 4$. Άρα $ \dfrac{(3x-1)^2}{x}+\dfrac{(3y-1)^2...

Σχέση πλευρών από σχέση γωνιών.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ του παρατιθέμενου σχήματος , δείξτε ότι : $AB+AS=BC$ . shesi.png . Φέρνουμε την $AT$ ώστε να σχηματίζει γωνία $66^o$ με την βάση, οπότε το $AST$ είναι ισοσκελές. Εύκολα τώρα βλέπουμε τα μέτρα των γωνιών, όπως στο σχήμα. Ειδικά, αφού $18+48=66$ σημ...

Βρείτε τις ακέραιες λύσεις του συστήματος : $\left\{\begin{matrix} x+y+x^2y^2 &=41 \\ & \\ x^2+y^2+xy&=31 \\ \end{matrix}\right.$ . Aν $(a,b) $ λύση τότε λόγω συμμετρίας είναι και η $(b,a)$, οπότε μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε ότι $|y|\ge |x|$. H δεύτερη ως δευτεροβάθμια ως προς $x$ έχει διακρ...

αρψ2400 έγραψε: ↑

Τρί Απρ 14, 2026 9:49 am

Μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο απλά , (μη αυτοτεμνόμενα), τετράπλευρα έτσι ώστε...

.

Έγχορδη.pngΗ χορδή $CD$ είναι παράλληλη προς την διάμετρο $AB$ του ημικυκλίου . Θεωρούμε σημείο $S$ της $CD$ τέτοιο ώστε : $AS=CD$ και φέρουμε : $ST \perp AB$ . Για ποια θέση της $CD$ , είναι : $ST=TB$ ; έγχορ.png . Aν $a$ ή ακτίνα και $h$ το ύψος $h=OK=ST$ (ζητούμενο) έχουμε $CD=2KD=2\sqrt {a^2-h^...

Μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο τετράπλευρα έτσι ώστε: α)Κάθε τελίτσα να είναι στο εσωτερικό τουλάχιστον ενός από τα δύο . β)Κάθε τελίτσα να είναι απομονωμένη από τις άλλες ,δηλαδή να μην μπορούμε να συνδέσουμε οποιεσδήποτε δύο τελίτσες με μία συνεχόμενη γραμμή χωρίς αυτή να τέμνει κάποια πλευρά τετραπ...

Μέγιστη διαφορά.pngΣε κύκλο ακτίνας $r$ εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές ισούνται με $r$ . Υπολογίστε την μέγιστη ( θετική ) διαφορά μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων $ADC$ και $ABC$ . Μεγ διαφ.png . Θέτουμε $AD=a, \, BC=b$ οπότε το κοινό ύψος των τριγώνων είναι $h= \...

Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) ... (γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$. ... Η άσκηση είναι από διαγωνισμό δημοτικού. Έτσι όπως ήταν την ανέβασα , δηλαδή με το "ακέραιοι". . Φώτη, ...

(γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$. . Προσοχή, δεν ισχύει το παραπάνω στους ακεραίους στους οποίους, σύμφωνα με την εκφώνηση, ορίζεται η πράξη $ \bigstar$ Οπότε προσθέτω (δ) Δώστε παράδειγμα όπου δεν ισχύει το ζητούμενο. (ε) Δείξτε ότ...