Σας ευχαριστώ πολύ όλους σας για τις ευχές και ιδιαίτερα στον καθένα ξεχωριστά γιατί με τον καθένα σας έχουμε μια μακρά πορεία στο χώρο τούτο και όχι μόνο. Εύχομαι να είστε καλά "ψυχή τε και σώματι" και να ευτυχείτε!!! Οι ευχές σας μου έδωσαν ξεχωριστή χαρά για την ονομαστική γιορτή μου. Χρόνια Πολ...

Το σημείο $S$ κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2r$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου $ASTP$ . Αν κάνετε χρήση παραγώγων θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $80\%$ των προβλεπόμενων μορίων . Καλημέρα .... Και μια άλλη ιδέα... Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα: Γαλάζιο εμβαδόν 1.png Το εμβαδόν...

$\bigstar$ Στο ορθογώνιο $ABCD$ του σχήματος , εξηγήστε γιατί η πράσινη και η γαλάζια περιοχή έχουν το ίδιο εμβαδόν . Ερώτημα προς μεγαλύτερους : Πόσο είναι το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου ; Καλησπέρα... Παραθέτω το ακόλουθο σχήμα με ανάλογες σημειώσεις για τη λύση στο αρχικό ερώτημα. Σχήμα Ανόμοι...

... Αυτό καθιστά απαραίτητο να θεωρηθεί ο γ. τόπος ως σημείο τομής των ευθειών ή στην ανάγκη να διατυπωθεί στην εκφώνηση το όριο μεταβολής της παραλληλίας της χορδής $\displaystyle{CD}$. . . Κώστα, πολύ ενδιαφέροντα αυτά που γράφεις και ωραιότατα, όπως πάντα, τα κινητικά σχήματα που ανάρτησες. Για ...

Η κουβέντα είναι δευτερεύουσας σημασίας , αλλά σκέφτομαι μήπως -πέραν του ομόρροπου - η έκφραση : "τομή των ημιευθειών $CK , DB$" , περιορίζει τον γεωμετρικό τόπο μόνο στον δεξιό κλάδο της υπερβολής . Μιχάλη , ανάφερε αν θέλεις κάποιο βιβλίο Αναλυτικής Γεωμετρίας που έχει παρόμοια άσκηση . Καλημέρα...

η οποία είναι μια υπερβολή χωρίς όλα της τα σημεία. Κώστα, η υπερβολή είναι με όλα της τα σημεία αν επιτρέψουμε το $C$ να περάσει τον νότιο πόλο και να κατευθυνθεί ανατολικά μέχρι να ξαναφτάσει πάλι στον βόρειο πόλο. Τότε το $C$ είναι το δεξί άκρο της χορδής του, ενώ το αντίστοιχο $D$ είναι το αρισ...

Ο κύκλος $(x+2)^2+y^2=9$ τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία $A , B$ . Χορδή $CD$ του κύκλου κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την $AB$ . Οι ημιευθείες $CK$ και $DB$ τέμνονται στο σημείο $S$ , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο . Καλησπέρα.... Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα: S - επιφά...

Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ Καλησπέρα... Αναρτώ μερικά σχήματα από το χώρο των τριών διαστάσεων γιατί η ζητούμενη ανισότητα και η όλη μελέτη που ακολούθησε έχει κατά βάση και μια γεωμετρική ερμηνεία. Σχήμα 1ο Surface 1.png Από το σχήμα αυτό...

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=kx^2-(k+1)x-(2k+1)$ . Δείξτε ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται για κάθε $k\in\mathbb{R}$ από δύο σταθερά σημεία . Καλημέρα... Παραθέτω και μια άλλη ιδέα... Η εξίσωση της παραβολής είναι: $\displaystyle{y=kx^2-(k+1)x-(2k+1), k \in R \ \ (1) }$ Η (1) γράφεται κι αλλιώς...

Κι από μένα, έστω και την υστεραία, Χρόνια πολλά στους αγαπητούς:

Γιώργο Ρίζο,
Γιώργο Μπαλόγλου,
Γιώργο βισβίκη,
Γιώργο Μήτσιο,
Γιώργο Καλαθάκη,
Γιώργο Τσικαλουδάκη
καθώς και σε όλους και όλες που γιόρταζαν χθές!!!

Κώστας Δόρτσιος

Βρείτε όλες τις ευθείες , οι οποίες δεν έχουν κοινά σημεία με την γραφική παράσταση της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$ . Καλησπέρα... Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα: Κανένα κοινό σημείο 1.png Στο σχήμα αυτό υπάρχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης: $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{x-1} \ \ (1) }$...

Σε κύκλο $(O)$ , θεωρούμε "οριζόντια" χορδή $AB$ και σημείο $S$ , "βορειότερο" της χορδής . Ονομάζουμε $P$ το μέσο της διαδρομής $ASB$ . α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν η χορδή είναι σταθερή και το $S$ μετακινείται . β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν το $S$ είναι σταθερό και η χ...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Απρ 22, 2026 12:42 pm

Θυμηθείτε το θεώρημα της σπασμένης χορδής του Αρχιμήδη ... ( ο βόρειος πόλος του κύκλου )

Καλησπέρα...

Αν και έχει γραφεί πιστεύω παλαιότερα παραθέτω σχηματικά

μια σύντομη απόδειξη της πρότασης αυτής.
Κώστας Δόρτσιος

Σε κύκλο $(O)$ , θεωρούμε "οριζόντια" χορδή $AB$ και σημείο $S$ , "βορειότερο" της χορδής . Ονομάζουμε $P$ το μέσο της διαδρομής $ASB$ . α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν η χορδή είναι σταθερή και το $S$ μετακινείται . β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $P$ , αν το $S$ είναι σταθερό και η χ...

Ο μεταβλητών διαστάσεων ρόμβος $ABCD$ του σχήματος , έχει εμβαδόν $E$ . Αν $M$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$ , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής $S$ των ημιευθειών $DA , CM$ . Ρόμβος , τόπος , τρόπος.pngΟ μεταβλητών διαστάσεων ρόμβος $ABCD$ του σχήματος , έχει εμβαδόν $E$ . Αν $M$ είναι...

Το σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη $5$ . Οι $QO , SP$ τέμνονται στο σημείο $T$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $T$ . Λογισμικό ; :no: Καλησπέρα... Συνεχίζω το θέμα αυτό προσθέτοντας κάποιες ακομα λειτουργίες του δυναμικού σχήματος για καλύτερη ...

Το σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη $5$ . Οι $QO , SP$ τέμνονται στο σημείο $T$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $T$ . Λογισμικό ; :no: Αχαρτογράφητα νερά.pngΤο σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη...

$\bigstar$ Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , μεταβλητή ευθεία παράλληλη προς την $AB$ , τέμνει τις $AD , AC , BC$ στα σημεία $P,S,T$ αντίστοιχα . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία αποδίδει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής και βρείτε το ελάχιστο αυτού του εμβαδού . Πότε αυτό το ε...

Σε σημείο $T$ της διαμέτρου $AB=d$ ενός ημικυκλίου , πλησιέστερο του $B$ , υψώνουμε κάθετο τμήμα $TS=TB$ . Από το $S$ διέρχεται χορδή $CD$ παράλληλη προς την $AB$ . α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\lambda=\dfrac{CS}{SD}$ , είναι πάντα μεγαλύτερος από τον : $m= \dfrac{AT}{TB}$ . β) Υπολογίστε τον $\lambda$...

$\bigstar$ Στις πλευρές $AB , AC$ , του τριγώνου $ABC$ , εντοπίστε σημεία $D , E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $DE \parallel BC$ και $AD=EC$ . Κατασκευάστε αναλυτικά το τμήμα $DE$ . Ειδικά αν : $a=10 , b=9 , c=6$ , υπολογίστε το τμήμα $DE$ . Καλημέρα και Καλή Ανάσταση!! Εργαζόμαστε στο ακολουθο σχήμα...