Να το συνεχίσουμε λίγο; Αν και δεν χρειάστηκε κάπου ας δειχθεί ότι:


Καλή συνέχεια σε όλα τα μέλη του . Εις το επανιδείν.

Έστω $\mathcal{H}_n$ ο $n$- οστός αρμονικός όρος. Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \mathcal{H}_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}_k \right )}$ Αυτή η δημοσίευση θα ναι και η τελευταία μου για το καλοκαίρι. Θα παρακολουθώ το :logo: ως επισκέπτ...

Αν και αυτή τη περίοδο είμαι διακοπές και ετοιμάζω άλλα πράγματα μακριά από τα μαθηματικά για τα οποία θέλω να πιστεύω θα 'χουν μέλλον θα δώσω τα δύο cents.


Με τρεις λέξεις μπορώ να πω: Δε μου αρέσει. Πάρα πολύ κοινό. Συγνώμη.

Μία μικρή ενημέρωση. Εχθές το βράδυ έχει βγει το τρίτος τεύχος του περιοδικού. Η τελευταία στήλη περιέχει τα εξής θέματα: Ολοκληρώματα Coxeter - Ahmed - Abel Ολοκληρώματα Poisson Λογαριθμο - τριγωνομετρικά ολοκληρώματα και σύνδεση με τις συναρτήσεις Clausen Όλα τα τεύχη του περιοδικού μπορούν να μετ...

Επαναφορά.

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 15, 2020 12:47 am

Μάλλον πρέπει να αλλάξει ο τίτλος
σε Ομοιόμορφη σύγκλιση.

Έχεις δίκιο Σταύρο. Από τη βιασύνη μου το 'γραψα ομοιόμορφη συνέχεια.

Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των $x$ και $a$. Είναι: $\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}$ Οπότε, $\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamm...

Μα Σταύρο στο ορίζω το . Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα .

Έστω $a \in \mathbb{R}$. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση $\displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}$ σε σειρά Fourier συνημιτόνων. Να δειχθεί η ταυτότητα: $\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a...

:clap2: :clap2:

Μετά από χρόνια φαίνεται ότι το θέμα αυτό απαντάται στο βιβλίο του Apostol.


Το ίδιο θέμα ετέθη και σε εξετάσεις σε πανεπιστήμιο του Puerto Rico. Ενδιαφέρον.

Να δειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων συγκλίνει ομοιόμορφα για κάθε .


Μέχρι αύριο βράδυ.

Να δειχθεί ότι

Επαναφορά.

Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και κάθε $n \in \mathbb{N}$ ορίζουμε $\displaystyle{f_n (x) = \frac{x}{1+nx^2}}$ και έστω $f$ το όριο αυτής. Να δειχθεί ότι $f_n \overset{\text{\gr ομ}}{\longrightarrow }f $. Στη συνέχεια να δειχθεί ότι η ισότητα $f'(x) = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f'_n(x)$ ισχύ...

Δοθείσας συγκλίνουσας σειράς $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ να δειχθεί ότι η σειρά Dirichlet $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο άνω ημι-επίπεδο $0 \leq s <+\infty$. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το παραπάνω γεγονός να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\lim_{s \...

Έκανα compile κάποια από τα πρόβλημα ( μόνο εκφωνήσεις ) που βρίσκονται στο thread εδώ.


Το αρχείο στοιχειοθετείται με XeTeX.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Κυρ Ιούλ 12, 2020 7:50 pm

Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

(Δείχνει απρόσιτη αλλά τελικά είναι απλή και χαριτωμένη)

Και εδώ παλιότερα ένα παρόμοιο.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 08, 2011 2:16 am

Υπολογισθήτω το .