Δίδω τη λύση που είδα για την ανισότητα αυτή... Εφόσον $A+B+C = \pi$ έχουμε ότι: $\displaystyle{\cos C = -\cos (A +B ) = -\cos A \cos B + \sin A \sin B \quad (1)}$ οπότε $\displaystyle{\frac{\sin A \sin B}{\cos C} = 1 + \frac{\cos A \cos B}{\cos C} = 1 + \frac{\tan C}{\tan A + \tan B} \qquad (2)}$ ...

$\displaystyle \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x$ Με λίγη καθοδήγηση: $\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x &\Rightarrow \sqrt{x^2-9}+x = \frac{2(x+3)}{(x-3)^2} \\ &\Rightarrow \left ( x-3 \right )^2\left ( \sqrt{x^2-9}+x \right ) = 2\left ( x+3 \right ) \\ &\Righ...

Έστω και . Να δειχθεί ότι:

Να υπολογιστεί το όριο:

Ορίζουμε και αναδρομικά . Να υπολογιστεί το όριο:

Να δειχθεί ότι σε κάθε οξυγώνειο τρίγωνο ισχύει:

Χρόνια πολλά σε όλους. Ιδιαίτερες ευχές στο Σταύρο Παπαδόπουλο.

Έστω $\mathcal{F}$ η οικογένεια των παραγωγίσιμων συναρτήσεων $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε ζευγάρι $x, y \in \mathbb{R}$ να ισχύει: $\displaystyle{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'\left(\frac{x+y}{2}\right)}$ Δείξατε ότι κάθε συνάρτηση στο $\mathcal{F}$ είναι $\mathcal{C}^\inft...

Έστω $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ συνεχώς διαφορίσιμη. Υποθέτουμε ότι ο Ιακωβιανός πίνακας $\displaystyle \left ( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right )$ έχει βαθμίδα $n$ παντού. Επίσης υποθέτουμε ότι το $f^{-1}(K)$ είναι συμπαγές όταν το $K$ είναι συμπαγές. Να δειχθεί ότι $f \left ...

Έστω $f$ αναλυτική στο δίσκο $|z|<2$ . Να δειχθεί ότι ( ; ) : $\displaystyle{\frac{1}{2\pi i} \oint \limits_{\left | z \right |=1} \frac{\overline{f(z)}}{z-a} \, \mathrm{d}z = \left\{\begin{matrix} \overline{f(0)} & , & \left | a \right |<1 \\\\ \overline{f(0)} - \overline{f\left ( \frac{1}{\bar{a}}...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ...δεν έχω λύση... ;) $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\cdot logx}{e^{\sqrt{x}}}dx$ Θα υπολογίσουμε το μετασχηματισμό Mellin της συνάρτησης $f(x)=e^{-\sqrt{x}}$. $\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{M}\left ( f \right ) &= \int_{0}^{\infty} x^{s-1} e^{-\sqrt{x...

Έστω τρίγωνο και οι πλευρές αυτού. Αν τότε να δειχθεί ότι:

Thank you Christos for giving me a kick in the right direction! Τελικά, είναι eigenbasis ... το ψαξα αφότου το έγραψες!! Ευχαριστώ. !

Πώς θα μεταφράζατε στα αγγλικά τον όρο ιδιοβάση;

Έστω δύο τετραγωνικοί πίνακες $A$ και $B$ με $n$ γραμμες και $n$ στήλες, και δίνεται ότι ο πίνακας $B$ είναι και αντιστρέψιμος. Να αποδείξετε ότι οι πίνακες $AB$ και $BA$ έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές. Επειδή το ${\rm \LaTeX}$ δε δουλεύει για κάποιο λόγο γράφω το ποστ χωρίς αυτό. Έστω $\lambda$ ιδιοτιμ...

Ωραία Δημήτρη. Παραθέτω όλη την άσκηση. Έστω $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο $A-B$ να είναι αντιστρέψιμος και $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$. Συμβολίζουμε με $\mathbb{I} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι: αν $\alpha \notin \{0...

Να λυθεί στον $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^2+xy & = & 259 \\ y^2 +zx & = & 217\\ z^2 + xy & = & 203 \end{matrix}\right.}$ Μήπως υπάρχει τυπογραφικό; Γιώργο, να τη ξανά δω αλλά δε βλέπω να την έχω γράψει λάθος την άσκηση. Είναι από εισαγωγικές εξετάσεις.

Το θέμα εδώ μου θύμισε το παρακάτω πρόβλημα... Έστω $f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ μονότονη ώστε το ολοκλήρωμα $\int_0^\infty f(x) \, \mathrm{d}x$ να συγκλίνει και $f(x)>0$ για κάθε $x \in [0, +\infty)$ και $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\lim_...

By the way, ισχύει και το γενικότερο: