Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Δευ Μαρ 30, 2020 8:26 am

Αν έκανα σωστά τις πράξεις, βρήκα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Θα κλείσουμε αυτό το mini tutorial με ένα άλλο ολοκλήρωμα που λέγεται ολοκλήρωμα Abel. 3. Ολοκλήρωμα Abel Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{t}{\left ( e^{\pi t} -e^{-\pi t} \right )\left ( 1+t^2 \right )}\, \mathrm{d}t = \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{4}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη...

Έστω η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

Παρεμφερή με τα ολοκληρώματα Ahmed είναι τα παρακάτω. $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left ( x \sqrt{2+x^2} \right )}{\sqrt{x^2+2}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi^2}{36}$. Υπόδειξη: Κάντε την αντικατάσταση $y = \arctan \left(x \sqrt{2+x^2} \right)$. $\displaystyle \int_{0}^{1} \fra...

2. Ολοκλήρωμα Ahmed Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\arctan\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}} \, \frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1} = \frac{5\pi^{2}}{96}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t) = \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left(t\sqrt{2+x^2} \right)}{(1+x^2)\sqrt{2+x^...

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Α...

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Αν...

Να δειχθεί ότι:

Ένα ολοκλήρωμα που συνδέεται άμεσα με το ολοκλήρωμα στο Θέμα με την Ολυμπιάδα είναι το παρακάτω . $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/4} \arctan \left(\frac{\sqrt{2}\cos3 \varphi}{\left(2\cos 2 \varphi+ 3\right)\sqrt{\cos 2 \varphi}}\right) \, \mathrm{d} \varphi =0}$ Ανάγεται ακριβώς στον υπολογισμό του ολ...

Με αφορμή το ολοκλήρωμα εδώ παρουσιάζω παρακάτω τα ολοκληρώματα Ahmed και Coxeter. Το θέμα θα το ανανεώνω σιγά - σιγά. Αν έχετε διαφορετικό τρόπο επίλυσης για τα ολοκληρώματα ή τα λήμματα που παρουσιάζονται παρακάτω μπορείτε ανά πάσα στιγμή να παρέμβετε. 1. Ολοκλήρωμα Coxeter Θα αποδείξουμε ότι $\d...

Μπορείτε να δείτε και εδώ.

Να συγκρίνετε τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$. Για όσους ξενυχτάνε ( καλή ώρα σα και μένα , αφού δεν έχω να κάνω τίποτα καλύτερο μιας και όλη μέρα ξεκουράζομαι ) λοιπόν. Έχουμε και λέμε: Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ η οποία είναι διαφορίσιμη στο $(1, +\infty)$ με παράγωγο $f'(x)...

Είναι γεγονός ότι τα θέματα και στις δύο κατηγορίες υπήρχαν πάρα πολλές ασάφειες, είτε λόγω της άστοχης μετάφρασης στα Αγγλικά από τα Τουρκμένικα, είτε λόγω επιστημονικών ανακριβειών π.χ. στο πρόβλημα 1 της Α' κατηγορίας είναι εντελώς ασαφές πόσα μυρμήγκια υπάρχουν στο κέντρο και ποια είναι η ακριβ...

... :x :x :x :x Πάρα πολύ δύσκολο για διαγωνισμό. :cry: :cry: :cry: :cry: Το ολοκλήρωμα είναι πράγματι πολύ δύσκολο, ακόμα κι αν η μοναδική επίλυση αναγκαστικά "περνάει" από όσα χρησιμοποίησες παραπάνω. Δυστυχώς, από ότι βλέπω οι διοργανωτές δεν έχουν ανεβάσει λύσεις των θεμάτων -έως σήμερα- ώστε ν...

Χμμ.. λέει δακτύλιος και γω διάβασα σώμα. Έχω να τα πιάσω και κάτι χρόνια, για αυτό ρώτησα για επιβεβαίωση. Οπότε, δεν έχω λύση!

Ωραία. Οπότε το αποτέλεσμα προκύπτει από τη γνωστή πρόταση πως αν έχουμε ένα σώμα $\mathbb{F}$ και ένα αλγεβρικό στοιχείο $\alpha$ πάνω από το $\mathbb{F}$ με ελάχιστο πολυώνυμο $p(X)$ βαθμού $n$ τότε μία βάση του $\mathbb{F}$ είναι η $\{1, \alpha, ... , \alpha^{n-1} \}$. Εδώ το ελάχιστο πολυώνυμο ε...

bouzoukman έγραψε: ↑

Πέμ Μαρ 26, 2020 7:12 am

Να βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος όπου .

Βγάζω . Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;

Δεν είναι άμεσο; Ας υποθέσουμε διάταξη. Έστω . Τότε η απόσταση μεταξύ των αριθμών αυτών είναι . Όμοια , αν τότε η απόσταση είναι .


Σε κάθε περίπτωση η απόσταση είναι .

Πρόβλημα 5: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}arctan(\sqrt{\frac{1}{2}(1-tan^{2}x)})dx$ Δύσκολο! $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} \arctan \sqrt{\frac{1-\tan^2 t}{2}}\, \mathrm{d}t &\overset{1-\tan^2 t \mapsto 2t^2}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!=\!=\!} \int_{0}^{\sqrt{2}...