Η αναζήτηση βρήκε 4163 εγγραφές

από Tolaso J Kos
Δευ Μαρ 30, 2020 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 102

Re: Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 8:26 am

Αν έκανα σωστά τις πράξεις, βρήκα \displaystyle{\mathcal{J} = 2 - \frac {\pi}{2}
:coolspeak:
από Tolaso J Kos
Δευ Μαρ 30, 2020 1:23 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 102

Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \arcsin x \arccos x \, \mathrm{d}x}
από Tolaso J Kos
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

Θα κλείσουμε αυτό το mini tutorial με ένα άλλο ολοκλήρωμα που λέγεται ολοκλήρωμα Abel. 3. Ολοκλήρωμα Abel Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{t}{\left ( e^{\pi t} -e^{-\pi t} \right )\left ( 1+t^2 \right )}\, \mathrm{d}t = \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{4}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη...
από Tolaso J Kos
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με συνάρτηση Γ
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 45

Όριο με συνάρτηση Γ

Έστω \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \log x - \frac{\log \Gamma(1+x)}{x} \right )=1}
από Tolaso J Kos
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

Παρεμφερή με τα ολοκληρώματα Ahmed είναι τα παρακάτω. $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left ( x \sqrt{2+x^2} \right )}{\sqrt{x^2+2}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi^2}{36}$. Υπόδειξη: Κάντε την αντικατάσταση $y = \arctan \left(x \sqrt{2+x^2} \right)$. $\displaystyle \int_{0}^{1} \fra...
από Tolaso J Kos
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

2. Ολοκλήρωμα Ahmed Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\arctan\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}} \, \frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1} = \frac{5\pi^{2}}{96}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t) = \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left(t\sqrt{2+x^2} \right)}{(1+x^2)\sqrt{2+x^...
από Tolaso J Kos
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:44 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ανάλυση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 211

Re: Ανάλυση

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Α...
από Tolaso J Kos
Παρ Μαρ 27, 2020 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ανάλυση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 211

Re: Ανάλυση

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Αν...
από Tolaso J Kos
Παρ Μαρ 27, 2020 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Σειρά
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 88

Σειρά

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{\infty} \frac{x}{\left ( x + \sqrt{1+x^2} \right )^{3n}} = \frac{13}{40} - \frac{\pi}{6\sqrt{3}}}
από Tolaso J Kos
Παρ Μαρ 27, 2020 7:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

Ένα ολοκλήρωμα που συνδέεται άμεσα με το ολοκλήρωμα στο Θέμα με την Ολυμπιάδα είναι το παρακάτω . $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/4} \arctan \left(\frac{\sqrt{2}\cos3 \varphi}{\left(2\cos 2 \varphi+ 3\right)\sqrt{\cos 2 \varphi}}\right) \, \mathrm{d} \varphi =0}$ Ανάγεται ακριβώς στον υπολογισμό του ολ...
από Tolaso J Kos
Παρ Μαρ 27, 2020 7:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 260

Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

Με αφορμή το ολοκλήρωμα εδώ παρουσιάζω παρακάτω τα ολοκληρώματα Ahmed και Coxeter. Το θέμα θα το ανανεώνω σιγά - σιγά. Αν έχετε διαφορετικό τρόπο επίλυσης για τα ολοκληρώματα ή τα λήμματα που παρουσιάζονται παρακάτω μπορείτε ανά πάσα στιγμή να παρέμβετε. 1. Ολοκλήρωμα Coxeter Θα αποδείξουμε ότι $\d...
από Tolaso J Kos
Παρ Μαρ 27, 2020 10:18 am
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ρωσικος πολλαπλασιασμός
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 101

Re: Ρωσικος πολλαπλασιασμός

Μπορείτε να δείτε και εδώ.
από Tolaso J Kos
Παρ Μαρ 27, 2020 4:02 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: π και e
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 168

Re: π και e

Να συγκρίνετε τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$. Για όσους ξενυχτάνε ( καλή ώρα σα και μένα , αφού δεν έχω να κάνω τίποτα καλύτερο μιας και όλη μέρα ξεκουράζομαι ) λοιπόν. Έχουμε και λέμε: Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ η οποία είναι διαφορίσιμη στο $(1, +\infty)$ με παράγωγο $f'(x)...
από Tolaso J Kos
Πέμ Μαρ 26, 2020 8:18 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 559

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Είναι γεγονός ότι τα θέματα και στις δύο κατηγορίες υπήρχαν πάρα πολλές ασάφειες, είτε λόγω της άστοχης μετάφρασης στα Αγγλικά από τα Τουρκμένικα, είτε λόγω επιστημονικών ανακριβειών π.χ. στο πρόβλημα 1 της Α' κατηγορίας είναι εντελώς ασαφές πόσα μυρμήγκια υπάρχουν στο κέντρο και ποια είναι η ακριβ...
από Tolaso J Kos
Πέμ Μαρ 26, 2020 7:53 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 559

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

... :x :x :x :x Πάρα πολύ δύσκολο για διαγωνισμό. :cry: :cry: :cry: :cry: Το ολοκλήρωμα είναι πράγματι πολύ δύσκολο, ακόμα κι αν η μοναδική επίλυση αναγκαστικά "περνάει" από όσα χρησιμοποίησες παραπάνω. Δυστυχώς, από ότι βλέπω οι διοργανωτές δεν έχουν ανεβάσει λύσεις των θεμάτων -έως σήμερα- ώστε ν...
από Tolaso J Kos
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 147

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Χμμ.. λέει δακτύλιος και γω διάβασα σώμα. Έχω να τα πιάσω και κάτι χρόνια, για αυτό ρώτησα για επιβεβαίωση. Οπότε, δεν έχω λύση! :(
από Tolaso J Kos
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:43 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 147

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

Ωραία. Οπότε το αποτέλεσμα προκύπτει από τη γνωστή πρόταση πως αν έχουμε ένα σώμα $\mathbb{F}$ και ένα αλγεβρικό στοιχείο $\alpha$ πάνω από το $\mathbb{F}$ με ελάχιστο πολυώνυμο $p(X)$ βαθμού $n$ τότε μία βάση του $\mathbb{F}$ είναι η $\{1, \alpha, ... , \alpha^{n-1} \}$. Εδώ το ελάχιστο πολυώνυμο ε...
από Tolaso J Kos
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:35 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 147

Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων

bouzoukman έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 7:12 am
Να βρεθεί μία βάση για το δακτύλιο των ακεραίων του σώματος K = \mathbb{Q}(\theta) όπου \theta^3 - \theta^2 + 1=0.
Βγάζω \{1, \theta, \theta^2\}. Μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει , πριν γράψω την ιδέα που έχω;
από Tolaso J Kos
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:16 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόδειξη Απόστασης Πραγματικών Αριθμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 85

Re: Απόδειξη Απόστασης Πραγματικών Αριθμών

Δεν είναι άμεσο; Ας υποθέσουμε διάταξη. Έστω a<b. Τότε η απόσταση μεταξύ των αριθμών αυτών είναι b-a. Όμοια , αν a>b τότε η απόσταση είναι a-b.


Σε κάθε περίπτωση η απόσταση είναι |b-a|.
από Tolaso J Kos
Τετ Μαρ 25, 2020 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 559

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Πρόβλημα 5: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}arctan(\sqrt{\frac{1}{2}(1-tan^{2}x)})dx$ Δύσκολο! $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} \arctan \sqrt{\frac{1-\tan^2 t}{2}}\, \mathrm{d}t &\overset{1-\tan^2 t \mapsto 2t^2}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!=\!=\!} \int_{0}^{\sqrt{2}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση