Αν $\displaystyle{f(x)=\frac{x-1}{\ln x}, ~~0<x\ne 1}$, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(a^2)+f(b^2)\geq 2f(ab)}$ για οποιαδήποτε $\displaystyle{a,b\in(0,1)\cup (1,+\infty),}$ με $\displaystyle{ab\ne 1.}$ Την παραπάνω ανισότητα την κατασκεύασα με τρόπο, ο οποίος δεν φαίνεται να οδηγεί σε επέκταση...

Τα σχήματα όμως ]καταστρέφουν όλες τις στροφές πλην ΜΙΑΣ τριπλής στροφής! Πρώτη απ' όλες χάνεται η διπλή στροφή: οι άξονες της θα έπρεπε κανονικά να διέρχονται από το κέντρο συμμετρίας του κάθε σχήματος, που όμως δεν υπάρχει, καθώς το σχήμα αυτό είναι ένα ασύμμετρο εξάγωνο (ή δεκαεπτάγωνο αν μετρήσ...

Να σας τονίσω ότι ανησυχώ πολύ, έχει αρχίσει το μουντιάλ και κύριε Γιώργο δεν έχεις ασχοληθεί καθόλου. Έχεις δημιουργήσει κοινό , είναι φανατικό , ποδοσφαιρόφιλο και έχει απαιτήσεις! Θέλουμε μπάλα Telstar! Αγαπητέ εν συμμετρίαις και ποδοσφαίροις αδελφέ Χρήστο, σ' ευχαριστώ για την κάλεσμα σου, στο ...

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στο κάλεσμα του Χρήστου Ντάβα, οπότε σχολιάζω λίγο την μπάλα του τρέχοντος Παγκοσμίου Κυπέλλου (Ρωσία 2018), βασιζόμενος στις εικόνες της που έχω δει στο διαδίκτυο, ίσως επανέλθω με περισσότερες λεπτομέρειες όταν την πιάσω στα χέρια μου... [Στο πνεύμα της σειράς άρ...

ΑΝΕΠΙΤΥΧΗΣ προσπάθεια (σκιαγράφηση) για το Δ4 (στο πνεύμα των θεματοδοτών, αλλά επικεντρωμένη ... στον άλλο παράγοντα): Επειδή η $g(x)=\sqrt{x-2}$ είναι κοίλη στο $(2,3)$, βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της στο τυχόν σημείο $(c, g(c))$, όπου $2<c<3$, και επειδή η $f(x)=2e^{x-2}-x^2$ είναι αρνητικ...

Για το Δ4: ευθεία λύση (χωρίς χρήση των προηγηθέντων μερών) από την γνωστή (ή έστω εύκολα αποδεικνυόμενη) ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$, αφού προηγηθεί ακριβής υπολογισμός του ολοκληρώματος $\int_{2}^{3}x^2\sqrt{x-2}dx=\dfrac{478}{105}$: αρκεί να χρησιμοποιηθεί η προφανής αντικατάσταση $u=x-2$...

Με την ευκαιρία, μια (ορθογραφική) διόρθωση στην παραπάνω ανάρτηση μου Νο 5, 2η παράγραφος: Όχι "Η Γεωμετρίες Γυμνασίου...", το σωστό "Οι Γεωμετρίες Γυμνασίου..." Το λάθος αυτό το βλέπω αρκετά συχνά και φοβάμαι ότι σηματοδοτεί μία επερχόμενη συγχώνευση άρθρων της Ελληνικής -- ας μην ξεχνάμε άλλωστε...

από την στιγμή που η ανισότητα $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ εμφανίζεται σε άσκηση του σχολικού βιβλίου ... μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο θέμα Δ4! (Βεβαίως ΙΣΩΣ να απαιτείται η απόδειξη της από τους όποιους διαγωνιζόμενους θα ήθελαν να την χρησιμοποιήσουν, αλλά σίγουρα δεν μπορούμε να λέμε ότι δεν μπορεί...

ΥΓ Κάπου είδα ότι υπάρχει ένσταση σχετικά με το αν είναι εντός ή εκτός ύλης οι τύποι για το εμβαδόν και το μήκος του κύκλου. Στο σχολικό βιβλίο υπάρχουν ασκήσεις που χρειάζεται ο τύπος για τον κύκλο αλλά και για τον τομέα. Αν κάποιος διδάξει όλο το σχολικό βιβλίο αναγκαστικά θα διδάξει και αυτά. Στ...

Σε συζήτηση με τον φίλο μαθηματικό Άγι Ζαμάνη, που ανέφερα νωρίτερα σήμερα , διερευνήσαμε την μεταβολή του κάτω φράγματος στο Δ4 όταν χρησιμοποιηθεί η εφαπτομένη της $f(x)=2e^{x-2}-x^2$ σε τυχόν σημείο $(c, f(c))$, όπου $c\in [2,3]$: τι θα συνέβαινε, για παράδειγμα, αν φέρναμε την εφαπτομένη στο $(3...

Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους. Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4. Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[2,+\infty)$ άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της $C_f$ στο $(2,f(2))$.Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση $y=-2-2(x-2)$. Συνεπώς $\int_{2}^{3} f(x)\sqrt{x-2}dx>\int_{2}^3 -2\sqrt...

Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους. Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4. Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[2,+\infty)$ άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της $C_f$ στο $(2,f(2))$.Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση $y=-2-2(x-2)$. Συνεπώς $\int_{2}^{3} f(x)\sqrt{x-2}dx>\int_{2}^3 -2\sqrt...

Για το Δ4: ευθεία λύση (χωρίς χρήση των προηγηθέντων μερών) από την γνωστή (ή έστω εύκολα αποδεικνυόμενη) ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$, αφού προηγηθεί ακριβής υπολογισμός του ολοκληρώματος $\int_{2}^{3}x^2\sqrt{x-2}dx=\dfrac{478}{105}$: αρκεί να χρησιμοποιηθεί η προφανής αντικατάσταση $u=x-2$ ...

Τα έλεγξα όλα ξανά ... και νομίζω ότι όλα είναι εντάξει! Η απόδειξη του Ορέστη, ακόμη και μετά την επιδιόρθωση μου* που ανέβασε χθες, είναι διαφορετική -- και νομίζω απλούστερη -- από την επίσημη λύση ( εδώ ), όπου πάντως το τέλος είναι το ίδιο (συνδυασμός $f(x+y)=f(x)+f(y)$ και $f(f(x))=x$) ... αλλ...

Γιατί να μην γίνονται;! Γενικότερα, δοθέντων ευθυγράμμου τμήματος με άκρα $A=(-1, 0)$, $B=(1, 0)$ και σημείου $S=(c, d)$ εκτός αυτού ... αναζητούμε σημείο $P=(p, 0)$ τέτοιο ώστε ο 'πάτος' $N$ του κύκλου που ορίζουν τα $A$, $B$, $M$ (όπου $M$ το μέσον του $SP$) να κείται επί της $SP$ (βλέπε συνημμένο...

Μία αλγεβρικο-γεωμετρική προσέγγιση, αποτέλεσμα συνεργασίας με τον εξάδελφο μου Πάνο Παπαδόπουλο (μαθηματικό-προγραμματιστή): Έστω $P$ σημείο επί της διχοτόμου και εντός του τριγώνου τέτοιο ώστε να είναι ίσες οι σεβιανές $BE$, $CZ$. Προεκτείνουμε την $AB$ ως το $B'$ έτσι ώστε να είναι ισοσκελές το $...

Κώστα ΝΑΙ, το είχα δει κάποτε στο Monthly το θεώρημα του Marden, και πάντα ήθελα να ασχοληθώ μ' αυτό, ποτέ όμως δεν θα μπορούσα να φανταστώ ότι μια μέρα θα το έβρισκα μπροστά μου λόγω του απείρως γνωστότερου θεωρήματος Lehmus-Steiner!!! [Λόγω τώρα της ομοιοθεσίας ανάμεσα στις δύο ελλείψεις Steiner ...

Έχοντας βρει τις εξισώσεις αξόνων της (περιγεγραμμένης) έλλειψης Steiner στην προηγούμενη δημοσίευση ... μπορούμε τώρα να βρούμε και τις εστίες της ... χρησιμοποιώντας και τις ιδιότητες της! Ξεκινώντας λοιπόν με την έλλειψη Steiner, περιγεγραμμένη στο 'γενικό' τρίγωνο με κορυφές $(-a,0), (a,0), (b,c...

Η έλλειψη Steiner -- ακριβέστερα, η περιγεγραμμένη έλλειψη Steiner (Steiner circumellipse) -- ενός τριγώνου είναι η μία και μοναδική έλλειψη που διέρχεται από τις τρεις κορυφές έχοντας ως κέντρο το βαρύκεντρο του τριγώνου. Για το τρίγωνο με κορυφές $(-a, 0)$, $(a, 0)$, $(b, c)$ που χρησιμοποίησα σ'...

Προτείνω εδώ έναν καινούργιο (;) τρόπο προσδιορισμού του κέντρου συμμετρίας έλλειψης ή υπερβολής και, στην περίπτωση έλλειψης, προσδιορισμού των εστιών της. Αρχίζοντας με μία κωνική τομή $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=1$ παρατηρούμε ότι, για το τυχόν σημείο της $(x, y)$ κείται επί αυτής και το σημείο $(2u-x, ...