Μία ελαφριά ενίσχυση του προηγούμενου (αντι)παραδείγματος μου ... θέτει την ταφόπετρα στην μέθοδο που πρότεινα:

*στέλνω τώρα αυτό το μήνυμα ως έχει και διερευνώ κατόπιν αυτό το θέμα περισσότερο (στέλνοντας ενδεχομένως και αντιπαράδειγμα αν βρω, παρομοίως και εσύ ή άλλοι αν έχετε τον χρόνο...) Ιδού ένα (αντι)παράδειγμα ... όπου όντως παρουσιάζεται πρόβλημα με τους γείτονες του 3 x 3 τετραγώνου ... που στην συ...

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ . (Δείτε την τελευταία γραμμή.) Υπάρχουν άλλοι; OXI, διότι η ύπαρξη ενός μαύρου τετραγώνου σε οποιοδήποτε από τα λευκά τετράγωνα του Διονύση, και σε χρωματισμό με μέγιστο αριθμό μαύρων τετραγώνων, θα επέτρεπε έναν χρωματισμό με περισσότερα μαύρα τετράγωνα ....

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ . (Δείτε την τελευταία γραμμή.) Υπάρχουν άλλοι; OXI, διότι η ύπαρξη ενός μαύρου τετραγώνου σε οποιοδήποτε από τα λευκά τετράγωνα του Διονύση, και σε χρωματισμό με μέγιστο αριθμό μαύρων τετραγώνων, θα επέτρεπε έναν χρωματισμό με περισσότερα μαύρα τετράγωνα ....

Αξίζει να σημειώσουμε ότι η Ελλάδα κατέλαβε την 3η θέση στο διαγωνισμό (μετά από τη Ρουμανία και τη Βουλγαρία), μία από τις καλύτερες παρουσίες της στην ιστορία του θεσμού! Σιλουανέ ευχαριστούμε και για το ιστορικό του προβλήματός σου! Αλέξανδρος Καταρχάς και καταρχήν και πάλι καταθέτουμε τον ειλικ...

Θερμά συγχαρητήρια, καλό καλοκαίρι, καλή πρόοδο!

Έτυχε να περάσω από τα φροντιστήρια Μαντά την περίοδο 1965-67 και διαβάζοντας τα παραπάνω θυμήθηκα την καλή φήμη που είχε ο μαθηματικός Θρουμουλόπουλος, χωρίς όμως να ξέρω τότε ότι είχε ιδρύσει φροντιστήριο. Εκτός από τα μεγάλα ονόματα που αναφέρθηκαν (θυμάμαι επιλέον φροντιστήριο Αριστ Πάλλα, Κ. Μ...

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον; Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει. Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον; Από ΘΜΤ στο $\left [ \lambda ,\lambda +1 \right ]$ έχουμε ότι $f'\left ( \xi \right )\geq -1$...

Η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ανισοϊσότητα. Δεν θα πρέπει να απαντήσουμε πότε ισχύει το ίσον; Όχι, δεν προβλέπεται κάτι τέτοιο. Επίσης το ίσον δεν ισχύει. Πως μπορείς να αποδείξεις ότι δεν ισχύει το ίσον; Από ΘΜΤ στο $\left [ \lambda ,\lambda +1 \right ]$ έχουμε ότι $f'\left ( \xi \right )\geq -1$...

Να δούμε μήπως υπάρχει και καμιά καλή απόδειξη γι'αυτό. Από την $f'(x)=ln(x(x-2)+2)+\dfrac{x(x-2)}{x(x-2)+2}$ και την $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}-2\right)=x(x-2)\leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ προκύπτει η $\displaystyle f'\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle f'\...

Το σχήμα του KARKAR επαληθεύει αυτό που είχα παρατηρήσει όσον αφορά την ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ του Δ4: η εφάπτεται της στο αν και μόνον αν .

Σταύρο υπάρχει ένα μικρό αλλά μοιραίο λάθος, καθώς οι σωστοί τύποι για τις ρίζες του τριωνύμου είναι $r_{1}(x)=\frac{\tan x}{2}(-1-\sqrt{1+8\cos x}),r_{2}(x)=\frac{\tan x}{2}(-1+\sqrt{1+8\cos x})$ [ΔΕΝ το είδα (το λάθος σου) αρχικά, το βρήκα κατά περιπετειώδη τρόπο που θα αναφέρω αργότερα!] Λοιπόν,...

Σταύρο υπάρχει ένα μικρό αλλά μοιραίο λάθος, καθώς οι σωστοί τύποι για τις ρίζες του τριωνύμου είναι



[ΔΕΝ το είδα (το λάθος σου) αρχικά, το βρήκα κατά περιπετειώδη τρόπο που θα αναφέρω αργότερα!]

Να αποδειχθεί η ανισότητα $2sin^2x-xsinx-x^2cosx>0$ για $0<x<\pi/2$. [Η προέλευση θα αποκαλυφθεί αργότερα.] Καλημέρα Γιώργο. Θα την απαντήσω σαν να ήταν στο φάκελλο Ανάλυση. Επίσης ισχύει τουλάχιστον για $0<x < \sqrt{6}$. Είναι γνωστές για $x>0$ οι ανισότητες (βγαίνουν και με σχολική ύλη) $\cos x< ...

Να αποδειχθεί η ανισότητα για .

[Η προέλευση θα αποκαλυφθεί αργότερα.]

Δυο πράγματα συμβαίνουν τα τελευταία χρόνια: Οι μαθηματικές σχολές είναι πρώτη επιλογή μερικών υποψηφίων καθώς έχουν χαμηλές βάσεις ή τελευταία επιλογή κάποιων άλλων Είναι δεδομένο ότι τις περισσότερες φορές αυτοί που σπουδάζουν μαθηματικά στην Ελλάδα δεν έχουν καλή ή έστω άμεση επαγγελματική αποκα...

Δυο πράγματα συμβαίνουν τα τελευταία χρόνια: Οι μαθηματικές σχολές είναι πρώτη επιλογή μερικών υποψηφίων καθώς έχουν χαμηλές βάσεις ή τελευταία επιλογή κάποιων άλλων Είναι δεδομένο ότι τις περισσότερες φορές αυτοί που σπουδάζουν μαθηματικά στην Ελλάδα δεν έχουν καλή ή έστω άμεση επαγγελματική αποκα...

[Μια προσεκτικότερη ματιά στις 'ανθυφαιρετικές' αποδείξεις της ασυμμετρίας πλευράς-διαμέτρου που περιλαμβάνονται στο βιβλίο των Νεγρεπόντη-Φαρμάκη δείχνει ότι ούτε αυτές απαιτούν το Πυθαγόρειο Θεώρημα: πράγματι, αρκεί να παρατηρηθεί ότι αντί της $a^2=2b^2$ αρκεί να χρησιμοποιηθεί -- βάσει απλών γεω...

Χρόνια Πολλά στους Κωνσταντίνους (Βήττα, Δόρτσιο, Ζυγούρη, Ρεκούμη, Τηλέγραφο) λοιπόν -- μόλις ευχήθηκα και στην Ελένη, που λέει να οργανώσουμε καμιά συνάντηση τοπική!

Να πω ότι το ερώτημα που απαντήθηκε από τον Φίλο Γιώργο Μπαλόγλου, παραπάνω, είναι έξυπνο και κατάλληλο για τους μαθητές μας. (προσωπική άποψη) Δυστυχώς, Κώστα, η συγκεκριμένη διαδικασία είναι εκτός ύλης πια. Η οδηγία είναι να μην διδαχθούν ασκήσεις και εφαρμογές πάνω στη συνάρτηση $\displaystyle F...