έχετε κάτι να διαβάσω-ενημερωθώ σχετικά με αυτούς τους αριθμούς; Νίκο, Ιστορίες των Μαθηματικών που περιέχουν πληροφορίες είναι π.χ. Heath, History of Greek Mathematics, στον τόμο 1, σελ. 91-93. (Είναι ελεύθερο κοπιράιτ, οπότε δεν θα δυσκολευτείς να το βρεις, αλλιώς σου στέλνω αντίτυπο). Νεγραπόντη...

Παραθέτω το σχετικό κείμενο του Πρόκλου εδώ . Προσπάθησα να περικόψω το παραπάνω εδάφιο αλλά μυστηριωδώς απέτυχα: αυτό που μας ενδιαφέρει εδώ -- ειδικότερα σε σχέση με το πρόσφατο άρθρο που ανέφερα στην προηγούμενη δημοσίευση -- σταματά στο "και αεί ούτως" του Πρόκλου. Τέλος πάντων, δίνω παρακάτω σ...

Kαι μία ακόμη στοιχειώδης τεχνική. Ναι μεν δεν είναι ευκολότερη για το συγκεκριμένο θέμα αλλά βγάζει ωραιότατους άλλους τύπους με τους οποίους μπορείς να φτιάξεις πολλές ασκήσεις. Περιέργως δεν τους έχω δει πουθενά, ή δεν τους θυμάμαι, αν και είναι απλοί. Τα παρακάτω τα παραθέτω για να υπάρχουν. Λή...

Ο λόγος που έγραψα την συγκεκριμένη λύση (υπάρχουν πολλές άλλες) είναι για να είναι "αλλιώτικη", γιατί δεν συνηθίζουμε να λύνουμε εξίσωση με όρους που μπορεί να είναι μεταβλητοί. Άλλωστε θυμώσαστε ότι παλαιότερα, με αφορμή ένα θέμα στις Πανελλήνιες, η κοινότητα χωρίστηκε στα δύο με ποταμούς σχολίων...

Έχουμε βέβαια και την πολύ ωραία γενική τεχνική που ανέφερε ο Σταύρος εδώ . Ο λόγος που έγραψα την συγκεκριμένη λύση (υπάρχουν πολλές άλλες) είναι για να είναι "αλλιώτικη", γιατί δεν συνηθίζουμε να λύνουμε εξίσωση με όρους που μπορεί να είναι μεταβλητοί. Άλλωστε θυμώσαστε ότι παλαιότερα, με αφορμή ...

Ισχύει γενικότερα το εξής: Αν $f'''(x)>0$ για $x>a$, τότε $f(x)-f(a)>f'\left(\dfrac{a+x}{2}\right)(x-a)$ για $x>a$. Πράγματι, αρκεί να θεωρήσουμε την $g(x)=f(x)-f(a)-f'\left(\dfrac{a+x}{2}\right)(x-a)$ και να παρατηρήσουμε ότι ισχύουν οι $g(a)=0$ και, για κάποιο $\xi \in\left(\dfrac{a+x}{2},x\right)...

Χωρίς Αναλυτική: το μέσον $D$ της υποτείνουσας $BC$ κείται επί σταθερής ευθείας ($y=\dfrac{3}{2}$), ενώ η υποτείνουσα $BC$ είναι σταθερά διπλάσια του $|AD|$. Αρκεί επομένως να ελαχιστοποιηθεί το μήκος $|AD|$, κάτι που συμβαίνει ακριβώς όταν η $AD$ είναι κατακόρυφη: αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν η $AD$...

Πολύ ωραίες λύσεις, ιδού 1-2 ακόμη, μαζί με την 'δημιουργία' της ανισότητας: Αρκεί να εργαστούμε σε τρίγωνο $ABC$ με $|AB|=1$, $|AC|=x$, $\angle BAC=\theta$, όπου $0\leq x\leq 1$, $0\leq \theta \leq \pi $. Το πηλίκο $\dfrac{|AB|+|AC|}{|BC|}$ μπορεί λοιπόν να εφρασθεί ως συνάρτηση του $x$, $f(x)=\dfr...

Με αφορμή την όλη συζήτηση εδώ ... προτείνω:

Να δειχθεί ότι σε τυχόν τρίγωνο ισχύει η ανισότητα .

[Ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για διόρθωση στην φορά της ανισότητας!]

Λίγο διαφορετικά από του Γιώργου. Αν $x^2+2ax+3a=-2$ για κάποιο $x$, τότε η $x^2+2ax+3a$ θα παίρνει όλες τις τιμές στο $[-2,\infty)$ άρα θα παίρνει και την τιμή $2$ και δεν θα έχουμε μοναδική λύση. Καίρια επισήμανση η παραπάνω που κόβει δρόμο και απλοποιεί την όλη διαδικασία της λύσης^ από εδώ και ...

Για ποιους πραγματικούς αριθμούς $a$ η διπλή ανίσωση $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ έχει μοναδική λύση; Γεια σου Θανάση και Καλή Χρονιά! Για να έχει μοναδική λύση η $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ πρέπει και αρκεί να ισχύει για κάθε $x$ η αντίστροφη ανισότητα, $|x^2 + 2ax + 3a|\geq 2$, ΚΑΙ επίσης να έχει μοναδι...

Το αριστερό τρίγωνο έχει μία γωνία 90 μοιρών, στο δεξιό τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι μικρότερες των 90 μοιρών.

ΙΣΧΥΕΙ πάντως η επιθυμητή γεωμετρική ανισότητα για $\theta =120^0$ -- αλλά ούτε λεπτό παραπάνω -- και έχουμε γι αυτό την εξαιρετικής τεχνοτροπίας απόδειξη που παρέθεσε ο Αλέξανδρος. Αν το αλγεβροποιήσουμε το θέμα, η επιθυμητή ανισότητα λαμβάνει, όπως είδαμε, την μορφή $\sqrt{\lambda ^2+x^2-\lambda ...

Όσον αφορά τις γωνίες μεταξύ $120^0$ και $126,87^0\approx arccos(-3/5)$ ή/και αλγεβρική απόδειξη ... θα προτιμούσα να (προσπαθήσω να) συνδυάσω αυτά τα δύο, δίνοντας πρώτα αλγεβρική απόδειξη για την γωνία $\theta =arccos(-3/5)$ [δύσκολο] και ακολούθως κατεβαίνοντας όπως παραπάνω [άμεσο]. Παραθέτω εδ...

Να κατασκευαστεί επίπεδο διερχόμενο από δοθείσα ευθεία που να τέμνει δοθείσα σφαίρα κατά κύκλο δοθέντος εμβαδού. Το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή επιπέδου διερχόμενου από δοθείσα ευθεία και εφαπτόμενου σε δοθείσα σφαίρα ... καθώς όλοι οι κύκλοι δοθέντος εμβαδού σε δοθείσα σφαίρα ανήκουν σε επίπε...

Είναι ένα αναμενόμενο πρόβλημα αυτό: θα συνιστούσα σε όσους δημοσιεύουν 'εντός Ελλάδος' να δημοσιοποιούν τις εργασίες τους γράφοντας μία εκτενή περίληψη στα Αγγλικά και αποστέλλοντας την σε συγκεκριμένα άτομα που είναι πιθανόν να ενδιαφέρονται, επίσης να αναρτούν την δουλειά τους (ως έχει συν την εκ...

Όχι βέβαια, δεν μπορεί να ισχύει για τυχούσα γωνία διαγωνίων, ας σκεφθούμε πχ ένα επίμηκες ορθογώνιο όπου $\lambda =x=1$ και $\theta \approx180^0$, οπότε το δεξιό σκέλος είναι περίπου $2$ και το αριστερό σκέλος περίπου $0$. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 25-12-2020 1:20 μμ: έγινε διόρθωση στο δεξιό σκέλος της ανισότη...

Όχι βέβαια, δεν μπορεί να ισχύει για τυχούσα γωνία διαγωνίων, ας σκεφθούμε πχ ένα επίμηκες ορθογώνιο όπου $\lambda =x=1$ και $\theta \approx180^0$, οπότε το δεξιό σκέλος είναι περίπου $2$ και το αριστερό σκέλος περίπου $0$. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 25-12-2020 1:20 μμ: έγινε διόρθωση στο δεξιό σκέλος της ανισότη...

Όχι βέβαια, δεν μπορεί να ισχύει για τυχούσα γωνία διαγωνίων, ας σκεφθούμε πχ ένα επίμηκες ορθογώνιο όπου $\lambda =x=1$ και $\theta \approx180^0$, οπότε το δεξιό σκέλος είναι περίπου $2$ και το αριστερό σκέλος περίπου $0$. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 25-12-2020 1:20 μμ: έγινε διόρθωση στο δεξιό σκέλος της ανισότη...

Να ευχαριστήσουμε τον λ.Μπαλόγλου για την μελέτη και λύση του γενικότερου προβλήματος. Για την συνοχή του νήματος ας δούμε και την λύση εντός φακέλου: Οι διαγώνιοι ενός τραπεζίου τέμνονται υπό γωνία $60^0$. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο από τις β...