Χρόνια Πολλά σε όλους, ιδίως στον Βαγγέλη Μουρούκο ... αλλά και στον παλιό μας φίλο Βαγγέλη Παπαπέτρο!

Το γεγονός ότι ισχύει $f(x)+f(1-x) = 1$ για τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}}$ είδαμε και στο Δ' θέμα των Επαναληπτικών Πανελλαδικών εξετάσεων & Εξετάσεων Ομογενών 2019! Ποια συμμετρία της γραφικής παράστασης της $f$ προκύπτει από τη σχέση $f(x)+f(1-x) = 1;$ Πολύ καλό το ερώτη...

Γρηγόρη και Γιώργο, δεν αρκεί μόνο η εύρεση μέγιστου και ελάχιστου αφού τότε θα έχουμε δείξει μόνο το $\{x+y+z : (x,y,z) \in S^2\} \subseteq [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$. Για την ισότητα μπορούμε π.χ. να επικαλεστούμε ότι η συνεχής εικόνα συνεκτικού συνόλου είναι συνεκτική. Δημήτρη πράγματι ... και οι εκ ...

Με στοιχειώδη μέσα: παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός του ελαχίστου ανάγεται στον υπολογισμό του μεγίστου, και αυτός στην περίπτωση που όλες οι συντεταγμένες είναι θετικές, οπότε και ισχύει η γνωστή ανισότητα , άρα και η .

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑

Παρ Μαρ 20, 2020 9:48 pm

Μόλις το έγραψα, είδα ότι ... απλώς επαναλαμβάνω τη λύση του Γιώργου. Οπότε, ας μοιραστούμε το σχήμα!

Δεν πειράζει ... όπου Γιώργος και μάλαμα!

[Επίσης Γιώργο ... εξηγείς καλύτερα την εύρεση των συντεταγμένων (όπου είχα κάνει αρχικά λάθος που επισήμανε ο άλλος Γιώργος).]

Γιώργο χαίρομαι που σε ξαναβλέπω ;) ύστερα από την 24ωρη 'απουσία' του :logo: Το πρόβλημα αυτό το πρωτοείδα σήμερα στα Aναπάντητα, η απάντηση είναι $|PQ|=2\sqrt{7}$: Τοποθετούμε το εξάγωνο πλευράς $2$ 'κεντρικά', ώστε να έχει δηλαδή τον άξονα των $y$ ως άξονα συμμετρίας. Εύκολα βρίσκουμε $D=(1,0)$, ...

[Τα παρακάτω πρόβλημα μάλλον δεν είναι (υποψήφιο) 'θέμα εξετάσεων'. Προέκυψε κατά την προσπάθεια επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος που θα αναφερθεί στο τέλος. Είναι όμως εντός των ορίων του Λογισμού και ίσως κάποιοι αναγνώστες του φακέλου να έχουν κάποιες ιδέες για την επίλυση του που εγώ δεν εί...

Η λύση μου με Τριγωνομετρία, Λογισμό, και ... Τριγωνομετρία: Θεωρούμε τυχόν 'προς κατασκευήν' τρίγωνο $ABC$ με $\angle BAC = \alpha $, $|CE|=m$, $|BD|=n$, όπου $CE$, $BD$ οι διχοτόμοι των $\angle ACB=2\theta$, $\angle ABC=2\omega$, αντίστοιχα. Από Νόμο Ημιτόνων στα $BCE$, $BCD$ λαμβάνουμε $\dfrac{|C...

Δέκα χρόνια μετά, κοινοποιώ εδώ μια συλλογή ασκήσεων ΑΣΕΠ , και λύσεων τους , από την σύντομη θητεία μου στα Φροντιστήρια Μπόνια (που έληξε μαζί περίπου με τον διαγωνισμό, θα έλεγα): τα 16 'κεφάλαια' αντιστοιχούν στα 17 τετράωρα διδασκαλίας, και ακολουθούν την διάταξη του βιβλίου των Στεργίου-Νάκη-Μ...

Ωραία και σημαντικά τα της προηγούμενης δημοσίευσης (#9), αλλά πολύ μου αρέσει και η γεωμετρικότερη προσέγγιση του Σωτήρη (#2), στην οποία μάλιστα προτείνω και ένα εναλλακτικό τελείωμα που αποφεύγει το κατά τα άλλα πολύ έξυπνο τέχνασμα της χρήσης δύο διαφορετικών διευθύνσεων: Παρατηρούμε -- βλέπε συ...

Ας κάνουμε λεπτομερέστερα την σύνδεση: (Ι) Το πραγματικό Θεώρημα Καραθεοδωρή (ή μάλλον μια πολύ ειδική περίπτωση του), όπως μας το αποκάλυψε προχθές ο Σιλουανός (#7), λέει ότι για κάθε σημείο $K$ εντός τριγώνου $AB\Gamma$ το διάνυσμα $\vec{OK}$ μπορεί να γραφεί ως $\lambda_1 \vec{OA}+\lambda_2 \vec{...

Μόλις αντικατέστησα το αρχικό συνημμένο με την τελική μορφή του άρθρου: έγιναν διάφορες μικροαλλαγές και μικροδιορθώσεις (με πιο σημαντική αυτή κάποιων προσήμων στην 'Σχέση Καραθεοδωρή') -- τα σχόλια σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αν και δεν υπάρχει πλέον χρόνος για αλλαγές ή διορθώσεις! Γιώργος Μπαλ...

Αν θυμάμαι σωστά ... κάποτε έδωσαν ένα πιο 'ανθρώπινο' πρόβλημα στον πρώτο υπολογιστή που κατασκευάστηκε και στον εκ των κατασκευαστών του John von Neuman, ποια είναι δηλαδή η πρώτη δύναμις του 2 που περιέχει το 7 ως ψηφίο ... και ο μεγάλος μαθηματικός και πανεπιστήμονας το βρήκε πρώτος! [Τώρα τι σή...

Η απάντηση από τον κ. Βαγγέλη Σπανδάγο, όπως μου την έστειλε. ............................................................................................................................................... Θεωρώ επίσης απαραίτητο να αναφέρω ότι πολλά χαμένα έργα Αρχαίων Ελλήνων Θετι-κών Επιστημόνων...

Θα περιμένω να μας δώσει αρχαία παραπομπή ο συγγραφέας του άρθρου. Μέχρι τότε, άνθρακες ο θησαυρός. Στέλιο, Tο έψαξα λίγο προσεκτικότερα, και δυστυχώς επιβεβαιώνονται οι επιφυλάξεις μου. Τα παρακάτω τα γράφω με γνώμονα την ακαδημαϊκή μου δέσμευση για συνεχή και αδιάλειπτη διάχυση αληθούς δόξας , γι...

rek2 έγραψε: ↑

Πέμ Φεβ 27, 2020 8:21 pm

Γιώργο, γνωρίζεις αν εχει δημοσιευτεί, κάπου, λύση; (δεν θέλω λύση, ούτε παραπομπή σε λύση)

Κώστα απ' όσο γνωρίζω ΟΧΙ.

Τελευταία επαναφορά -- τον άλλο μήνα η λύση!

Θερμά συγχαρητήρια, καλοτάξιδο!

Αφοπλιστικό το λήμμα σου, Αλέξανδρε! Έχοντας πλέον να κάνουμε με μία κωνική και ΕΝΑΝ κύκλο ... δίνει λύση στο δεύτερο ερώτημα του Μηνά ΚΑΙ η δική μου μέθοδος, εύλογα εφαρμοσμένη είτε σε (Ι) παραβολή της μορφής $y=ax^2$ είτε σε (II) έλλειψη/υπερβολή της μορφής $\dfrac{x^2}{a^2}\pm \dfrac{y^2}{b^2}=1$...

Και όμως ισχύει ΚΑΙ για $n=2$, και μάλιστα η περίπτωση αυτή ουσιαστικά επιλύει το πρόβλημα (ένεκα μαθηματικής επαγωγής)! Για $n=2$ λοιπόν η πρόταση είναι: αν $1<a_1\leq a_2$ και $a_1+a_2=4$ τότε $a_1+2\leq a_1a_2$. Πράγματι, αντικαθιστώντας την $a_2=4-a_1$ στην $a_1+2\leq a_1a_2$ λαμβάνουμε την $(a_...