Η αναζήτηση βρήκε 2640 εγγραφές

από gbaloglou
Πέμ Δεκ 05, 2019 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 269

Re: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Να δειχθεί, για $0<x<\dfrac{\pi}{4}$, η ανισότητα $(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.$ [Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ] Γεια σας. Υπάρχει εδώ https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=59513&p=288357#p2...
από gbaloglou
Τρί Δεκ 03, 2019 10:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 269

Τριγωνομετρική εκθετική ανισότητα

Να δειχθεί, για 0<x<\dfrac{\pi}{4}, η ανισότητα

(cosx)^{cos^2x}>(sinx)^{sin^2x}.

[Εμφανίσθηκε πρόσφατα στο ΦΒ, μπορεί να έχει εμφανισθεί κάποτε και εδώ -- θα ήθελα να δω λύσεις πέραν της δικής μου ;) ]
από gbaloglou
Δευ Δεκ 02, 2019 4:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Εκθετική κυρτότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 464

Re: Εκθετική κυρτότητα

μια παρατήρηση αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη) Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα... Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συ...
από gbaloglou
Δευ Δεκ 02, 2019 10:58 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Σημείο επαφής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 135

Re: Σημείο επαφής

Μου θυμίζει αυτό :) Ο μόνος τρόπος να έχουν οι δύο συναρτήσεις ένα και μόνο σημείο επαφής είναι να εφάπτονται αλλήλων στο κοινό τους σημείο. Από τις ισότητες τεταγμένης και κλίσης λαμβάνουμε αντίστοιχα τις εξισώσεις $e^{x_0/a}=ln(ax_0)$ και $\dfrac{1}{a}e^{x_0/a}=\dfrac{1}{a}$, όπου $x_0$ η τετμημέν...
από gbaloglou
Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:43 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: κριτήριο ισότητας τριγώνων;
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 812

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Παρ' όλα αυτά, εξακολουθεί να μην υπάρχει τρίγωνο με $\theta=120^0$, $m=2\sqrt{10}$, $n=3$ καθώς απαιτείται και η θετικότητα του $c=2(cos\theta)b\pm2\sqrt{(cos^2\theta)b^2-b^2+n^2}$: εδώ τα πράγματα είναι πιο μπλεγμένα, θα επανέλθω όταν μπορώ... Καλημέρα Γιώργο! Η μη ύπαρξη του τριγώνου επαληθεύετα...
από gbaloglou
Πέμ Νοέμ 28, 2019 12:56 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: κριτήριο ισότητας τριγώνων;
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 812

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...
από gbaloglou
Τρί Νοέμ 26, 2019 2:21 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: κριτήριο ισότητας τριγώνων;
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 812

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...
από gbaloglou
Δευ Νοέμ 25, 2019 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: κριτήριο ισότητας τριγώνων;
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 812

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...
από gbaloglou
Δευ Νοέμ 25, 2019 11:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Εκθετική κυρτότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 464

Re: Εκθετική κυρτότητα

μια παρατήρηση αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη) Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα... Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συ...
από gbaloglou
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Εκθετική κυρτότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 464

Re: Εκθετική κυρτότητα

μια παρατήρηση αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη(θέλει απόδειξη) Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη Εδώ η αντίστροφη είναι η $\displaystyle{f^{-1}(x)=xe^x,x>1}$ που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα... Ροδόλφε δεν σε παρακολουθώ, για παράδειγμα η συ...
από gbaloglou
Δευ Νοέμ 25, 2019 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: κριτήριο ισότητας τριγώνων;
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 812

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...
από gbaloglou
Δευ Νοέμ 25, 2019 1:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: κριτήριο ισότητας τριγώνων;
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 812

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμε...
από gbaloglou
Δευ Νοέμ 25, 2019 12:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: κριτήριο ισότητας τριγώνων;
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 812

Re: κριτήριο ισότητας τριγώνων;

Γιώργο μια αλγεβρικογεωμετρική ματιά βασιζόμενη στο σχήμα σου: Από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABM$ και $ACN$ οδηγούμαστε στο σύστημα $\dfrac{b^2}{4}+c^2-(cos\theta)bc=m^2$ $b^2+\dfrac{c^2}{4}-(cos\theta)bc=n^2,$ που αντιστοιχεί στην (πιθανή) τομή δύο ελλείψεων: για μοναδική λύση στο αρχικό γεωμετ...
από gbaloglou
Παρ Νοέμ 22, 2019 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Εκθετική κυρτότητα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 464

Εκθετική κυρτότητα

Για x\geq1 ας είναι f(x) ο μοναδικός πραγματικός για τον οποίο ισχύει η f(x)^{f(x)}=x. Να μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητα.
από gbaloglou
Παρ Νοέμ 22, 2019 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Της Κορέας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 360

Re: Της Κορέας

Τα παραπάνω μπορούν -- και ίσως πρέπει -- να επαληθευθούν! Από την $x'_0(t)=1$ λαμβάνουμε $x_0(t)=t+c_1$, οπότε η $(x_0(t)-t)ln(x_0(t)-t)=1$ δίνει $c_1lnc_1=1$ και $c_1\approx1,763$. Επίσης από την $f'(t)=1-\dfrac{3}{t}$ λαμβάνουμε $f(t)=t-3lnt+c_2$, οπότε οι εξισώσεις κοινής εφαπτομένης μας οδηγούν...
από gbaloglou
Τετ Νοέμ 20, 2019 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Της Κορέας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 360

Re: Της Κορέας

Επειδή η μία συνάρτηση είναι κοίλη και η άλλη κυρτή, το να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο σημαίνει ότι, για κάθε $t>0$, εφάπτονται αλλήλων, έστω σε σημείο $(x_0(t), y_0(t))$. Στο $x_0(t)$ λοιπόν οφείλουν να είναι ίσες και οι συναρτήσεις και οι (ως προς $x$) παράγωγοι τους, οπότε ισχύουν οι $t^3ln(x_0(t...
από gbaloglou
Τρί Νοέμ 19, 2019 1:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Το ρολόι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 295

Re: Το ρολόι

Ας θεωρήσουμε, για ευκολία, ότι έχουμε μεσάνυχτα για $t=0$, ώστε $\Phi (0)=\phi (0)=0$, όπου $\Phi(t)=\dfrac{\pi}{30}t$ και $\phi(t)=\dfrac{\pi}{360}t$ οι γωνίες λεπτοδείκτη και ωροδείκτη (σε ακτίνια) με την κατακόρυφο $t$ λεπτά μετά τα μεσάνυχτα. Προκύπτει ότι η γωνία ανάμεσα σε ωροδείκτη και λεπτο...
από gbaloglou
Δευ Νοέμ 18, 2019 8:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: 9 ψηφία, 9 διαιρετότητες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 288

Re: 9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

Μιχάλη συμφωνώ με τις διαπιστώσεις σου. Στην δική μου προσέγγιση οι διαιρετότητες δια 4 και δια 8 περιορίζουν κατ' αρχήν τους πιθανούς υποψήφιους εννεαψήφιους σε 46 ('ρίζες'), και ακολούθως οι διαιρετότητες δια 6 και δια 3 σε 10 ... οπότε στο τέλος η διαιρετότητα δια 7 μας οδηγεί σε έναν και μόνον ...
από gbaloglou
Κυρ Νοέμ 17, 2019 9:17 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: 9 ψηφία, 9 διαιρετότητες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 288

Re: 9 ψηφία, 9 διαιρετότητες

Μιχάλη συμφωνώ με τις διαπιστώσεις σου. Στην δική μου προσέγγιση οι διαιρετότητες δια 4 και δια 8 περιορίζουν κατ' αρχήν τους πιθανούς υποψήφιους εννεαψήφιους σε 46 ('ρίζες'), και ακολούθως οι διαιρετότητες δια 6 και δια 3 σε 10 ... οπότε στο τέλος η διαιρετότητα δια 7 μας οδηγεί σε έναν και μόνον α...
από gbaloglou
Παρ Νοέμ 15, 2019 3:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μία και μοναδική λύση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 341

Re: Μία και μοναδική λύση

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 14, 2019 8:39 am
Αν η εξίσωση f'(x)=0 έχει το πολύ μία λύση στο (a,b) και ισχύει η f(a)\cdot f(b)<0, τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ακριβώς λύση στο (a,b).

[Γνωστό πιθανώς και διαισθητικά προφανές, προέκυψε από κάτι άλλο που θα αναφερθεί αργότερα.]
Άμεση γεωμετρική εφαρμογή ... εδώ.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση