Η αναζήτηση βρήκε 2825 εγγραφές

από gbaloglou
Σάβ Ιαν 16, 2021 8:49 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: 2 problems
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 475

Re: 2 problems

έχετε κάτι να διαβάσω-ενημερωθώ σχετικά με αυτούς τους αριθμούς; Νίκο, Ιστορίες των Μαθηματικών που περιέχουν πληροφορίες είναι π.χ. Heath, History of Greek Mathematics, στον τόμο 1, σελ. 91-93. (Είναι ελεύθερο κοπιράιτ, οπότε δεν θα δυσκολευτείς να το βρεις, αλλιώς σου στέλνω αντίτυπο). Νεγραπόντη...
από gbaloglou
Παρ Ιαν 15, 2021 2:29 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: θεώρημα γλαφυρόν...
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1540

Re: θεώρημα γλαφυρόν...

Παραθέτω το σχετικό κείμενο του Πρόκλου εδώ . Προσπάθησα να περικόψω το παραπάνω εδάφιο αλλά μυστηριωδώς απέτυχα: αυτό που μας ενδιαφέρει εδώ -- ειδικότερα σε σχέση με το πρόσφατο άρθρο που ανέφερα στην προηγούμενη δημοσίευση -- σταματά στο "και αεί ούτως" του Πρόκλου. Τέλος πάντων, δίνω παρακάτω σ...
από gbaloglou
Τετ Ιαν 13, 2021 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 632

Re: Πολυώνυμο και Θεώρημα Rolle

Kαι μία ακόμη στοιχειώδης τεχνική. Ναι μεν δεν είναι ευκολότερη για το συγκεκριμένο θέμα αλλά βγάζει ωραιότατους άλλους τύπους με τους οποίους μπορείς να φτιάξεις πολλές ασκήσεις. Περιέργως δεν τους έχω δει πουθενά, ή δεν τους θυμάμαι, αν και είναι απλοί. Τα παρακάτω τα παραθέτω για να υπάρχουν. Λή...
από gbaloglou
Κυρ Ιαν 10, 2021 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ποτέ το μέσο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 279

Re: Ποτέ το μέσο

Ο λόγος που έγραψα την συγκεκριμένη λύση (υπάρχουν πολλές άλλες) είναι για να είναι "αλλιώτικη", γιατί δεν συνηθίζουμε να λύνουμε εξίσωση με όρους που μπορεί να είναι μεταβλητοί. Άλλωστε θυμώσαστε ότι παλαιότερα, με αφορμή ένα θέμα στις Πανελλήνιες, η κοινότητα χωρίστηκε στα δύο με ποταμούς σχολίων...
από gbaloglou
Σάβ Ιαν 09, 2021 8:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ποτέ το μέσο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 279

Re: Ποτέ το μέσο

Έχουμε βέβαια και την πολύ ωραία γενική τεχνική που ανέφερε ο Σταύρος εδώ . Ο λόγος που έγραψα την συγκεκριμένη λύση (υπάρχουν πολλές άλλες) είναι για να είναι "αλλιώτικη", γιατί δεν συνηθίζουμε να λύνουμε εξίσωση με όρους που μπορεί να είναι μεταβλητοί. Άλλωστε θυμώσαστε ότι παλαιότερα, με αφορμή ...
από gbaloglou
Σάβ Ιαν 09, 2021 10:24 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ποτέ το μέσο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 279

Re: Ποτέ το μέσο

Ισχύει γενικότερα το εξής: Αν $f'''(x)>0$ για $x>a$, τότε $f(x)-f(a)>f'\left(\dfrac{a+x}{2}\right)(x-a)$ για $x>a$. Πράγματι, αρκεί να θεωρήσουμε την $g(x)=f(x)-f(a)-f'\left(\dfrac{a+x}{2}\right)(x-a)$ και να παρατηρήσουμε ότι ισχύουν οι $g(a)=0$ και, για κάποιο $\xi \in\left(\dfrac{a+x}{2},x\right)...
από gbaloglou
Παρ Ιαν 08, 2021 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη υποτείνουσα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 113

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Χωρίς Αναλυτική: το μέσον $D$ της υποτείνουσας $BC$ κείται επί σταθερής ευθείας ($y=\dfrac{3}{2}$), ενώ η υποτείνουσα $BC$ είναι σταθερά διπλάσια του $|AD|$. Αρκεί επομένως να ελαχιστοποιηθεί το μήκος $|AD|$, κάτι που συμβαίνει ακριβώς όταν η $AD$ είναι κατακόρυφη: αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν η $AD$...
από gbaloglou
Τετ Ιαν 06, 2021 3:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 316

Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!

Πολύ ωραίες λύσεις, ιδού 1-2 ακόμη, μαζί με την 'δημιουργία' της ανισότητας: Αρκεί να εργαστούμε σε τρίγωνο $ABC$ με $|AB|=1$, $|AC|=x$, $\angle BAC=\theta$, όπου $0\leq x\leq 1$, $0\leq \theta \leq \pi $. Το πηλίκο $\dfrac{|AB|+|AC|}{|BC|}$ μπορεί λοιπόν να εφρασθεί ως συνάρτηση του $x$, $f(x)=\dfr...
από gbaloglou
Τρί Ιαν 05, 2021 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 316

Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!

Με αφορμή την όλη συζήτηση εδώ ... προτείνω:

Να δειχθεί ότι σε τυχόν τρίγωνο ABC ισχύει η ανισότητα |AB|+|AC|\leq \dfrac{|BC|}{sin[(\angle BAC)/2]}.

[Ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για διόρθωση στην φορά της ανισότητας!]
από gbaloglou
Κυρ Ιαν 03, 2021 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 279

Re: Ανίσωση

Λίγο διαφορετικά από του Γιώργου. Αν $x^2+2ax+3a=-2$ για κάποιο $x$, τότε η $x^2+2ax+3a$ θα παίρνει όλες τις τιμές στο $[-2,\infty)$ άρα θα παίρνει και την τιμή $2$ και δεν θα έχουμε μοναδική λύση. Καίρια επισήμανση η παραπάνω που κόβει δρόμο και απλοποιεί την όλη διαδικασία της λύσης^ από εδώ και ...
από gbaloglou
Κυρ Ιαν 03, 2021 12:36 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 279

Re: Ανίσωση

Για ποιους πραγματικούς αριθμούς $a$ η διπλή ανίσωση $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ έχει μοναδική λύση; Γεια σου Θανάση και Καλή Χρονιά! Για να έχει μοναδική λύση η $|x^2 + 2ax + 3a|\leq 2$ πρέπει και αρκεί να ισχύει για κάθε $x$ η αντίστροφη ανισότητα, $|x^2 + 2ax + 3a|\geq 2$, ΚΑΙ επίσης να έχει μοναδι...
από gbaloglou
Τετ Δεκ 30, 2020 9:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ερώτηση κρίσεως Γ Γυμνασίου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 281

Re: Ερώτηση κρίσεως Γ Γυμνασίου

Το αριστερό τρίγωνο έχει μία γωνία 90 μοιρών, στο δεξιό τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι μικρότερες των 90 μοιρών.
από gbaloglou
Τρί Δεκ 29, 2020 1:01 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 655

Re: Ανισότητα σε τραπέζιο

ΙΣΧΥΕΙ πάντως η επιθυμητή γεωμετρική ανισότητα για $\theta =120^0$ -- αλλά ούτε λεπτό παραπάνω -- και έχουμε γι αυτό την εξαιρετικής τεχνοτροπίας απόδειξη που παρέθεσε ο Αλέξανδρος. Αν το αλγεβροποιήσουμε το θέμα, η επιθυμητή ανισότητα λαμβάνει, όπως είδαμε, την μορφή $\sqrt{\lambda ^2+x^2-\lambda ...
από gbaloglou
Δευ Δεκ 28, 2020 12:12 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 655

Re: Ανισότητα σε τραπέζιο

Όσον αφορά τις γωνίες μεταξύ $120^0$ και $126,87^0\approx arccos(-3/5)$ ή/και αλγεβρική απόδειξη ... θα προτιμούσα να (προσπαθήσω να) συνδυάσω αυτά τα δύο, δίνοντας πρώτα αλγεβρική απόδειξη για την γωνία $\theta =arccos(-3/5)$ [δύσκολο] και ακολούθως κατεβαίνοντας όπως παραπάνω [άμεσο]. Παραθέτω εδ...
από gbaloglou
Κυρ Δεκ 27, 2020 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΠΟΥ ΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΠΟΥ ... ΠΑΡΑΜΕΛΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΣΕ ΑΥΤΟΝ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 236

Re: ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΠΟΥ ΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΠΟΥ ... ΠΑΡΑΜΕΛΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΣΕ ΑΥΤΟΝ

Να κατασκευαστεί επίπεδο διερχόμενο από δοθείσα ευθεία που να τέμνει δοθείσα σφαίρα κατά κύκλο δοθέντος εμβαδού. Το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή επιπέδου διερχόμενου από δοθείσα ευθεία και εφαπτόμενου σε δοθείσα σφαίρα ... καθώς όλοι οι κύκλοι δοθέντος εμβαδού σε δοθείσα σφαίρα ανήκουν σε επίπε...
από gbaloglou
Κυρ Δεκ 27, 2020 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Εξισωτής και βιβλιογραφία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 226

Re: Εξισωτής και βιβλιογραφία

Είναι ένα αναμενόμενο πρόβλημα αυτό: θα συνιστούσα σε όσους δημοσιεύουν 'εντός Ελλάδος' να δημοσιοποιούν τις εργασίες τους γράφοντας μία εκτενή περίληψη στα Αγγλικά και αποστέλλοντας την σε συγκεκριμένα άτομα που είναι πιθανόν να ενδιαφέρονται, επίσης να αναρτούν την δουλειά τους (ως έχει συν την εκ...
από gbaloglou
Σάβ Δεκ 26, 2020 8:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 655

Re: Ανισότητα σε τραπέζιο

Όχι βέβαια, δεν μπορεί να ισχύει για τυχούσα γωνία διαγωνίων, ας σκεφθούμε πχ ένα επίμηκες ορθογώνιο όπου $\lambda =x=1$ και $\theta \approx180^0$, οπότε το δεξιό σκέλος είναι περίπου $2$ και το αριστερό σκέλος περίπου $0$. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 25-12-2020 1:20 μμ: έγινε διόρθωση στο δεξιό σκέλος της ανισότη...
από gbaloglou
Σάβ Δεκ 26, 2020 1:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 655

Re: Ανισότητα σε τραπέζιο

Όχι βέβαια, δεν μπορεί να ισχύει για τυχούσα γωνία διαγωνίων, ας σκεφθούμε πχ ένα επίμηκες ορθογώνιο όπου $\lambda =x=1$ και $\theta \approx180^0$, οπότε το δεξιό σκέλος είναι περίπου $2$ και το αριστερό σκέλος περίπου $0$. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 25-12-2020 1:20 μμ: έγινε διόρθωση στο δεξιό σκέλος της ανισότη...
από gbaloglou
Παρ Δεκ 25, 2020 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 655

Re: Ανισότητα σε τραπέζιο

Όχι βέβαια, δεν μπορεί να ισχύει για τυχούσα γωνία διαγωνίων, ας σκεφθούμε πχ ένα επίμηκες ορθογώνιο όπου $\lambda =x=1$ και $\theta \approx180^0$, οπότε το δεξιό σκέλος είναι περίπου $2$ και το αριστερό σκέλος περίπου $0$. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 25-12-2020 1:20 μμ: έγινε διόρθωση στο δεξιό σκέλος της ανισότη...
από gbaloglou
Παρ Δεκ 25, 2020 9:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 655

Re: Ανισότητα σε τραπέζιο

Να ευχαριστήσουμε τον λ.Μπαλόγλου για την μελέτη και λύση του γενικότερου προβλήματος. Για την συνοχή του νήματος ας δούμε και την λύση εντός φακέλου: Οι διαγώνιοι ενός τραπεζίου τέμνονται υπό γωνία $60^0$. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο από τις β...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση