Η αναζήτηση βρήκε 2440 εγγραφές

από gbaloglou
Κυρ Ιουν 17, 2018 11:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ανισότητα με συνάρτηση!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 155

Re: Ανισότητα με συνάρτηση!

Αν $\displaystyle{f(x)=\frac{x-1}{\ln x}, ~~0<x\ne 1}$, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(a^2)+f(b^2)\geq 2f(ab)}$ για οποιαδήποτε $\displaystyle{a,b\in(0,1)\cup (1,+\infty),}$ με $\displaystyle{ab\ne 1.}$ Την παραπάνω ανισότητα την κατασκεύασα με τρόπο, ο οποίος δεν φαίνεται να οδηγεί σε επέκταση...
από gbaloglou
Κυρ Ιουν 17, 2018 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Telstar 2018
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 107

Re: Telstar 2018

Τα σχήματα όμως ]καταστρέφουν όλες τις στροφές πλην ΜΙΑΣ τριπλής στροφής! Πρώτη απ' όλες χάνεται η διπλή στροφή: οι άξονες της θα έπρεπε κανονικά να διέρχονται από το κέντρο συμμετρίας του κάθε σχήματος, που όμως δεν υπάρχει, καθώς το σχήμα αυτό είναι ένα ασύμμετρο εξάγωνο (ή δεκαεπτάγωνο αν μετρήσ...
από gbaloglou
Κυρ Ιουν 17, 2018 1:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: EURO 2016
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1039

Re: EURO 2016

Να σας τονίσω ότι ανησυχώ πολύ, έχει αρχίσει το μουντιάλ και κύριε Γιώργο δεν έχεις ασχοληθεί καθόλου. Έχεις δημιουργήσει κοινό , είναι φανατικό , ποδοσφαιρόφιλο και έχει απαιτήσεις! Θέλουμε μπάλα Telstar! Αγαπητέ εν συμμετρίαις και ποδοσφαίροις αδελφέ Χρήστο, σ' ευχαριστώ για την κάλεσμα σου, στο ...
από gbaloglou
Κυρ Ιουν 17, 2018 1:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Telstar 2018
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 107

Telstar 2018

Δεν θα μπορούσα να μην ανταποκριθώ στο κάλεσμα του Χρήστου Ντάβα, οπότε σχολιάζω λίγο την μπάλα του τρέχοντος Παγκοσμίου Κυπέλλου (Ρωσία 2018), βασιζόμενος στις εικόνες της που έχω δει στο διαδίκτυο, ίσως επανέλθω με περισσότερες λεπτομέρειες όταν την πιάσω στα χέρια μου... [Στο πνεύμα της σειράς άρ...
από gbaloglou
Σάβ Ιουν 16, 2018 1:28 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 54
Προβολές: 7734

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

ΑΝΕΠΙΤΥΧΗΣ προσπάθεια (σκιαγράφηση) για το Δ4 (στο πνεύμα των θεματοδοτών, αλλά επικεντρωμένη ... στον άλλο παράγοντα): Επειδή η $g(x)=\sqrt{x-2}$ είναι κοίλη στο $(2,3)$, βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της στο τυχόν σημείο $(c, g(c))$, όπου $2<c<3$, και επειδή η $f(x)=2e^{x-2}-x^2$ είναι αρνητικ...
από gbaloglou
Παρ Ιουν 15, 2018 9:52 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 54
Προβολές: 7734

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Για το Δ4: ευθεία λύση (χωρίς χρήση των προηγηθέντων μερών) από την γνωστή (ή έστω εύκολα αποδεικνυόμενη) ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$, αφού προηγηθεί ακριβής υπολογισμός του ολοκληρώματος $\int_{2}^{3}x^2\sqrt{x-2}dx=\dfrac{478}{105}$: αρκεί να χρησιμοποιηθεί η προφανής αντικατάσταση $u=x-2$...
από gbaloglou
Παρ Ιουν 15, 2018 9:45 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Πέτρος Τόγκας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1432

Re: Πέτρος Τόγκας

Με την ευκαιρία, μια (ορθογραφική) διόρθωση στην παραπάνω ανάρτηση μου Νο 5, 2η παράγραφος: Όχι "Η Γεωμετρίες Γυμνασίου...", το σωστό "Οι Γεωμετρίες Γυμνασίου..." Το λάθος αυτό το βλέπω αρκετά συχνά και φοβάμαι ότι σηματοδοτεί μία επερχόμενη συγχώνευση άρθρων της Ελληνικής -- ας μην ξεχνάμε άλλωστε...
από gbaloglou
Πέμ Ιουν 14, 2018 12:24 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018
Απαντήσεις: 67
Προβολές: 6060

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018

από την στιγμή που η ανισότητα $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ εμφανίζεται σε άσκηση του σχολικού βιβλίου ... μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο θέμα Δ4! (Βεβαίως ΙΣΩΣ να απαιτείται η απόδειξη της από τους όποιους διαγωνιζόμενους θα ήθελαν να την χρησιμοποιήσουν, αλλά σίγουρα δεν μπορούμε να λέμε ότι δεν μπορεί...
από gbaloglou
Τετ Ιουν 13, 2018 3:41 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018
Απαντήσεις: 67
Προβολές: 6060

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018

ΥΓ Κάπου είδα ότι υπάρχει ένσταση σχετικά με το αν είναι εντός ή εκτός ύλης οι τύποι για το εμβαδόν και το μήκος του κύκλου. Στο σχολικό βιβλίο υπάρχουν ασκήσεις που χρειάζεται ο τύπος για τον κύκλο αλλά και για τον τομέα. Αν κάποιος διδάξει όλο το σχολικό βιβλίο αναγκαστικά θα διδάξει και αυτά. Στ...
από gbaloglou
Τετ Ιουν 13, 2018 2:32 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018
Απαντήσεις: 67
Προβολές: 6060

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2018

Σε συζήτηση με τον φίλο μαθηματικό Άγι Ζαμάνη, που ανέφερα νωρίτερα σήμερα , διερευνήσαμε την μεταβολή του κάτω φράγματος στο Δ4 όταν χρησιμοποιηθεί η εφαπτομένη της $f(x)=2e^{x-2}-x^2$ σε τυχόν σημείο $(c, f(c))$, όπου $c\in [2,3]$: τι θα συνέβαινε, για παράδειγμα, αν φέρναμε την εφαπτομένη στο $(3...
από gbaloglou
Τρί Ιουν 12, 2018 3:22 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 54
Προβολές: 7734

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους. Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4. Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[2,+\infty)$ άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της $C_f$ στο $(2,f(2))$.Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση $y=-2-2(x-2)$. Συνεπώς $\int_{2}^{3} f(x)\sqrt{x-2}dx>\int_{2}^3 -2\sqrt...
από gbaloglou
Δευ Ιουν 11, 2018 8:09 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 54
Προβολές: 7734

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Καλημέρα και καλή επιτυχία στους υποψήφιους. Η (μάλλον "λογική") απάντηση στο (δύσκολο) Δ4. Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[2,+\infty)$ άρα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της $C_f$ στο $(2,f(2))$.Η ευθεία αυτή έχει εξίσωση $y=-2-2(x-2)$. Συνεπώς $\int_{2}^{3} f(x)\sqrt{x-2}dx>\int_{2}^3 -2\sqrt...
από gbaloglou
Δευ Ιουν 11, 2018 11:31 am
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 54
Προβολές: 7734

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2018 (Θέματα & Λύσεις)

Για το Δ4: ευθεία λύση (χωρίς χρήση των προηγηθέντων μερών) από την γνωστή (ή έστω εύκολα αποδεικνυόμενη) ανισότητα $e^u>1+u+\dfrac{u^2}{2}$, αφού προηγηθεί ακριβής υπολογισμός του ολοκληρώματος $\int_{2}^{3}x^2\sqrt{x-2}dx=\dfrac{478}{105}$: αρκεί να χρησιμοποιηθεί η προφανής αντικατάσταση $u=x-2$ ...
από gbaloglou
Κυρ Ιουν 10, 2018 2:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 867

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - APMO 2016

Τα έλεγξα όλα ξανά ... και νομίζω ότι όλα είναι εντάξει! Η απόδειξη του Ορέστη, ακόμη και μετά την επιδιόρθωση μου* που ανέβασε χθες, είναι διαφορετική -- και νομίζω απλούστερη -- από την επίσημη λύση ( εδώ ), όπου πάντως το τέλος είναι το ίδιο (συνδυασμός $f(x+y)=f(x)+f(y)$ και $f(f(x))=x$) ... αλλ...
από gbaloglou
Δευ Ιουν 04, 2018 2:07 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Δεν γίνονται αυτά !
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 230

Re: Δεν γίνονται αυτά !

Γιατί να μην γίνονται;! Γενικότερα, δοθέντων ευθυγράμμου τμήματος με άκρα $A=(-1, 0)$, $B=(1, 0)$ και σημείου $S=(c, d)$ εκτός αυτού ... αναζητούμε σημείο $P=(p, 0)$ τέτοιο ώστε ο 'πάτος' $N$ του κύκλου που ορίζουν τα $A$, $B$, $M$ (όπου $M$ το μέσον του $SP$) να κείται επί της $SP$ (βλέπε συνημμένο...
από gbaloglou
Κυρ Ιουν 03, 2018 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Είναι το τρίγωνο ισοσκελές;
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1933

Re: Είναι το τρίγωνο ισοσκελές;

Μία αλγεβρικο-γεωμετρική προσέγγιση, αποτέλεσμα συνεργασίας με τον εξάδελφο μου Πάνο Παπαδόπουλο (μαθηματικό-προγραμματιστή): Έστω $P$ σημείο επί της διχοτόμου και εντός του τριγώνου τέτοιο ώστε να είναι ίσες οι σεβιανές $BE$, $CZ$. Προεκτείνουμε την $AB$ ως το $B'$ έτσι ώστε να είναι ισοσκελές το $...
από gbaloglou
Τρί Μάιος 29, 2018 11:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 957

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Κώστα ΝΑΙ, το είχα δει κάποτε στο Monthly το θεώρημα του Marden, και πάντα ήθελα να ασχοληθώ μ' αυτό, ποτέ όμως δεν θα μπορούσα να φανταστώ ότι μια μέρα θα το έβρισκα μπροστά μου λόγω του απείρως γνωστότερου θεωρήματος Lehmus-Steiner!!! [Λόγω τώρα της ομοιοθεσίας ανάμεσα στις δύο ελλείψεις Steiner ...
από gbaloglou
Τρί Μάιος 29, 2018 9:27 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 957

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Έχοντας βρει τις εξισώσεις αξόνων της (περιγεγραμμένης) έλλειψης Steiner στην προηγούμενη δημοσίευση ... μπορούμε τώρα να βρούμε και τις εστίες της ... χρησιμοποιώντας και τις ιδιότητες της! Ξεκινώντας λοιπόν με την έλλειψη Steiner, περιγεγραμμένη στο 'γενικό' τρίγωνο με κορυφές $(-a,0), (a,0), (b,c...
από gbaloglou
Δευ Μάιος 28, 2018 11:47 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 957

Re: Ίσες σεβιανές, άνισες πλευρές

Η έλλειψη Steiner -- ακριβέστερα, η περιγεγραμμένη έλλειψη Steiner (Steiner circumellipse) -- ενός τριγώνου είναι η μία και μοναδική έλλειψη που διέρχεται από τις τρεις κορυφές έχοντας ως κέντρο το βαρύκεντρο του τριγώνου. Για το τρίγωνο με κορυφές $(-a, 0)$, $(a, 0)$, $(b, c)$ που χρησιμοποίησα σ'...
από gbaloglou
Κυρ Μάιος 27, 2018 6:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Υπέρ βωμών και εστιών
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 89

Υπέρ βωμών και εστιών

Προτείνω εδώ έναν καινούργιο (;) τρόπο προσδιορισμού του κέντρου συμμετρίας έλλειψης ή υπερβολής και, στην περίπτωση έλλειψης, προσδιορισμού των εστιών της. Αρχίζοντας με μία κωνική τομή $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=1$ παρατηρούμε ότι, για το τυχόν σημείο της $(x, y)$ κείται επί αυτής και το σημείο $(2u-x, ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση