mathematica.gr

ipaper

Σκεφτείτε μια ακολουθία (x_n)_n

σε χώρο Hilbert

τέτοια ώστε $\langle x_m,x_n\rangle=\delta_{mn}$ όπου $\delta_{mn}$ ισούται με ένα, αν m = n

και

αλλιώς. Αποδείξτε ότι η (x_n)_n

είναι ένας ασθενής συγκλίνουσα ακολουθία.

ipaper

Έστω $x_1 = 2\;; \ x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\forall n \geq 1$ . Αποδείξτε ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n=1$ και βρείτε το $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n^n$ .

ipaper

Έστω $f: [0, + \infty) \rightarrow (0, +\infty)$ μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε το $\lim_{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{x}f(t)\,dt$ να υπάρχει και να είναι πεπερασμένο.
Να αποδειχθεί ότι $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt {x}}\int_{0}^{x}\sqrt {f (t)}\,dt = 0.$

ipaper

βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει f (f (f (x))) = x

.

ipaper

Βρείτε μια διαφορίσιμη συνάρτηση

για την

πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1. $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$
2. $f(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$
3.

δεν είναι σταθερή.

Η αναζήτηση βρήκε 5 εγγραφές

ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία

lim x_n^n (όριο ακολουθίας)

Όριο

f (f (f (x))) = x

Βρείτε μια διαφορίσιμη συνάρτηση