Βαθύς γνώστης της Ανάλυσης, αλλά και της Γεωμετρίας και της Άλγεβρας. Με πολύ καλή αίσθηση του μαθηματικού κριτηρίου.
Σημαντική και χαρακτηριστική η συνεισφορά του στο mathematica.gr.

Θερμά συλλυπητήρια στην οικογένειά του.

Ο όγκος στερεού που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης $f(x)=\sqrt{2rx-x^2}, \; x\in [0,h]$, περί τον άξονα $x$, (βλέπε σχήμα) ισούται με $\displaystyle V_{h}=\pi\int_{0}^{h}f^2(x)\,\mathrm{d}x=\pi\int_{0}^{h}2rx-x^2\,\mathrm{d}x=\frac{\pi\,h^2}{3}(3r-h)\,.$ Για $h=\frac{r}{2}$ προκύπτει $V=\...

Αγαπητές/τοί, το πρόβλημα που περιγράφετε προέκυψε από την προσπάθεια αντιμετώπισης του παρόχου μιας μεγάλου μεγέθους και διάρκειας επίθεσης bots. Προς το παρόν φαίνεται ότι η επίθεση σταμάτησε και το mathematica.gr επέστρεψε στην κανονική λειτουργία. Ευχαριστούμε για την κατανόησή σας. Εκ των Διαχ...

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin\big({\tfrac{\pi}{2x}}\big)\,{\rm{d}}{x}&\stackrel{\begin{subarray}{c} {t\,=\,\frac{\pi}{2x}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {{\rm{d}}{x}\,=\,-\frac{\pi}{2t}\,{\rm{d}}{t}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}{=\!=\!=\!=\!=\!=}-\frac{\pi^2}{4}\int_{+\...

Ανέβηκε νέα έκδοση (1.2.0) του βιβλίου "Τοπολογία" του Σπύρου Καπελλίδη, με διάφορες προσθέσεις και τυπογραφικές διορθώσεις σε σχέση με την προηγούμενη έκδοση 1.1.2.
Μπορείτε να την κατεβάσετε από εδώ.

Ας "ρίξουμε λίγο φως". Οι προβληματικές εγγραφές (ψεύτικα προφίλ, προφίλ με κάποιο διαφημιστικό ή άσχετο με τα μαθηματικά, σύνδεσμο), προβληματικές ή άσχετες δημοσιεύσεις κ.α. δεν είναι ένα φαινόμενο που παρουσιάζεται μόνο στο mathematica.gr. Κολοσσοί κοινωνικών δικτύων (με ασύλληπτα χρηματικά αποθέ...

Γρηγόρη με την ανωνυμία τι γίνεται; Δεν μπορεί το :logo: να απαιτεί, από εδώ και πέρα, πλήρη στοιχεία για δικαίωμα δημοσίευσης; .. 1) Το θέμα ταυτοποίησης πραγματικών στοιχείων είναι τεχνικά δύσκολο. Αυτή η ταυτοποίηση δεν μπορεί να γίνει μέσω email αφού κάποιος μπορεί να δημιουργήσει όσους λογαρια...

...Για παράδειγμα το μέλος modapk (γράφτηκε σήμερα) παραπέμπει σε διαφήμιση εταιρείας πλαστικών, το μέλος downloadapk32 (γράφτηκε σήμερα) παραπέμπει σε συγγραφή διατριβών, το μέλος dsnaptuberapks (γράφτηκε χθες) παραπέμπει σε λογισμικό διαχείρισης βίντεο, το μέλος dDakotaF7e88 (γράφτηκε πριν από λί...

1) Κατ' αρχήν να διευκρινίσω ότι δεν πρόκειται (ευτυχώς!) για bot, όπου μέσω αυτοματοποιημένης διαδικασίας μπορούν να γίνουν δεκάδες εγγραφές σε σχεδόν μηδενικό χρόνο. Το συγκεκριμένο πρόβλημα, πιθανότατα, δημιουργείται από ένα άτομο (νεαρής ηλικίας;) που βρήκε έναν τρόπο να "διασκεδάζει" με το να κ...

Έστω $C$ η καμπύλη (λημνίσκος του Bernoulli) με εξίσωση $({x^2+y^2})^2=x^2-y^2$. Έστω $P({x_0,y_0})$ τυχόν σημείο της $C$ και $P'$ το συμμετρικό σημείο του $P$, ως προς την αρχή των αξόνων $O$. Έστωσαν $\ell$, $\ell'$ οι εφαπτόμενες στην $C$ ευθείες στα σημεία $P$, $P'$, αντίστοιχα. Από το σημείο $P...

Αγαπητές/τοί σας ενημερώνουμε ότι αναβαθμίστηκε ο EqEditor για την γραφή μαθηματικών τύπων με κώδικα $\color{dred}\rm{\LaTeX}$ στο mathematica.gr. Ο πίνακας συμβόλων του EqEditor και η προεπισκόπηση των μαθηματικών τύπων είναι πλέον ενσωματωμένα στο παράθυρο δημιουργίας θέματος/απάντησης . Θέλουμε ...

Μια λύση: (Ουσιαστικά είναι η "μισή" από αυτήν που έδωσε ο κ. Λάμπρου). Θα χρειαστούμε το λήμμα. Λήμμα: Για κάθε $x\in{\mathbb{R}}^{*}$ και $n\in{\mathbb{N}}$ ισχύει: $\begin{aligned} x+\frac{1}{x}\in{\mathbb{Z}}\;\; \Rightarrow\;\; x^n+\frac{1}{x^n}\in{\mathbb{Z}}\,.\qquad(1) \end{aligned}$ Απόδει...

Για να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος, όπου ο "χρυσός αριθμός".

Δίνουμε μια λύση: Εύκολα αποδεικνύεται ότι, για $n\in{\mathbb{N}}$ ισχύει* $\begin{aligned} \int_{0}^{1}x\log^n({1-x})\,{\rm{d}}x=({-1})^{n}\,n!\,\big({1-2^{-n-1}}\big)\,.\quad(1) \end{aligned}$ Θεωρούμε την συνάρτηση $g\colon({-1,1})\longrightarrow\mathbb{R}$ με τύπο $g(x)=\begin{cases} -x\log^n(1...

Να αποδειχθεί ότι

,

όπου η ακολουθία Fibonacci (, ) και ο "χρυσός αριθμός".

Για να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, το ολοκλήρωμα
.

Μια δεύτερη λύση: Επειδή $\begin{aligned} \lim_{x\to 0^{+}}x^{\tan{x}}&=\lim_{x\to 0^{+}}\exp({\tan{x}\log{x}})=\exp\Big({\lim_{x\to 0^{+}}\tan{x}\log{x}}\Big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\exp\bigg({\cancelto{1}{\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\cos{x}}}\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\log{x}}{\frac{1}{\sin{x}}}}\...