Η αναζήτηση βρήκε 2836 εγγραφές

από cretanman
Τετ Απρ 01, 2020 4:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλεια Τετράγωνα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 366

Re: Τέλεια Τετράγωνα

Ξέχασα να αναφέρω παραπάνω ότι μετά την επισήμανση του λάθους, διόρθωσα τη λύση και νομίζω ότι πλέον είναι σωστή. Οι λύσεις είναι άπειρες αφού η αρχική καταλήγει σε μια εξίσωση Pell. Βρήκα και μια λύση (την $(22,18)$) για να είμαι σίγουρος ότι οι τύποι αυτοί δίνουν πράγματι τις λύσεις. Απλά αντί για...
από cretanman
Τετ Απρ 01, 2020 1:09 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλεια Τετράγωνα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 366

Re: Τέλεια Τετράγωνα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Απρ 01, 2020 1:05 am
cretanman έγραψε:
Τρί Μαρ 31, 2020 11:25 pm
 y_2^2-4y_1y_2+4-2y_1^2=5 \Leftrightarrow (y_2-2)^2-2y_1^2=5
Προφανως υπάρχει τυπογραφικό που χαλάει τα μετά.
Τέτοια ώρα συμβαίνουν αυτά.
Λύσεις σίγουρα έχει
x=22,y=18
Σταύρο ευχαριστώ! Ακριβώς αυτό ήταν το παιδαριώδες λάθος στο οποίο αναφέρθηκα στο παραπάνω μήνυμα!

Αλέξανδρος
από cretanman
Τρί Μαρ 31, 2020 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τέλεια Τετράγωνα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 366

Re: Τέλεια Τετράγωνα

Αν οι αριθμοί $x,y\in \mathbb{N^*}$ ικανοποιούν τη σχέση $2x^2+x=3y^2+y $ $(1)$, τότε: α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί $x-y$ και $2x+2y+1$ είναι τέλεια τετράγωνα β) να βρείτε όλα τα ζεύγη $(x,y)$ τα οποία ικανοποιούν την $(1)$ Να δώσω μια διαφορετική απάντηση στο α) Η $2x^2+x=3y^2+y $ γράφεται $2x^...
από cretanman
Παρ Μαρ 27, 2020 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 430

Re: Παλιά θέματα εισαγωγικών στην Βρετανία

Άσκηση 3 (Ιούνιος 1964). Τρεις κύκλοι ακτίνων $p,\,q,\,r$, αντίστοιχα, εφάπτονται εξωτερικά ανά ζεύγη σε σημεία $A,B,C$. Ως γνωστόν (*) οι κοινές εφαπτόμενες στα σημεία επαφής $A,B,C$, συντρέχουν, έστω στο $K$. Δείξτε ότι $\displaystyle{KA=KB=KC= \sqrt {\dfrac {pqr}{p+q+r}}}$. (*) To ζήταγε το πρώτ...
από cretanman
Τρί Μαρ 24, 2020 10:49 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 104

Re: Ανισότητα

Τόλη καλημέρα, Πρόκειται για την αρκετά γνωστή Ανισότητα Chebyshev. Αποδείξεις και αναφορές μπορείς να βρεις σε πολλά σημεία είτε στο mathematica είτε με απλή αναζήτηση! Μάλιστα αν οι ακολουθίες $(x_n)$ και $(y_n)$ είναι αντίθετα διατεταγμένες, η φορά στην ανισότητα στο τέλος είναι η αντίθετη. Αλέξα...
από cretanman
Τετ Φεβ 19, 2020 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 376

Re: Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

Η απάντηση είναι $p=5$. Η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα: $4p^2(a+b)=b^2(a-b)$. Θέτουμε $a=b+k, \ k > 0$ και η εξίσωση μετά τις πράξεις γίνεται: $\displaystyle{kb^2-8p^2b-4p^2k=0 \ \ (1)}$ με διακρίνουσα $\Delta=16p^2\left(4p^2+k^2\right)$ απ' όπου πρέπει $4p^2+k^2=r^2$ με $r\in\mathbb{N}$. Η τελευταία γ...
από cretanman
Παρ Φεβ 14, 2020 12:08 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Βιβλία Κυπριακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 472

Re: Βιβλία Κυπριακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας

Μπράβο στην ΚΥΜΕ και στους (στον) εμπνευστές αυτής της προσπάθειας!! Αγαπητέ Σωτήρη μπράβο σας... Γνωρίζω από πρώτο χέρι τον κόπο που έχει μία τέτοια έκδοση αλλά στο τέλος αξίζει τον κόπο!!

Αλέξανδρος
από cretanman
Σάβ Ιαν 18, 2020 8:37 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 7450

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του...
από cretanman
Τρί Δεκ 10, 2019 12:39 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Βιβλίο Θεωρίας Συνόλων
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1114

Re: Βιβλίο Θεωρίας Συνόλων

Βλέποντας τις εξαιρετικές δημοσιεύσεις του Σπύρου στο mathematica δε μπορεί παρά να βγάλεις το συμπέρασμα ότι πρόκειται για ένα καταπληκτικό συνάδελφο και ένα εξαιρετικό άνθρωπο!! Όταν επιπλέον τον γνωρίσεις από κοντά τότε απλά επιβεβαιώνεις τα παραπάνω με το παραπάνω!! Είναι απίστευτο πόση ομορφιά ...
από cretanman
Τρί Νοέμ 19, 2019 10:49 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 183

Re: Ανισότητα

Η ανισότητα γράφεται $2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\geq 2\left(\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}\right)$ Όμως $\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\dfrac{ca}{b}\cdot \dfrac{ab}{c}}=2a$ και κυκλικά και οι υπόλοιπες σχέσεις. Προσ...
από cretanman
Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:01 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 505

Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll

Αλέξανδρε, αν επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση του Euler τότε μπορούμε να πάμε και απευθείας στο $a^{\varphi(b)} \equiv 1 \bmod b$. (Όπως είπε και ο Σταύρος πιο πάνω.) Μάλλον όμως κάτι άλλο έχει υπόψη του ο Μιχάλης. Σωστά Δημήτρη! Έκανα τα εύκολα δύσκολα και δεν πρόσεξα αυτό που είπε ο ...
από cretanman
Σάβ Νοέμ 09, 2019 7:59 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 551

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Χρόνια πολλά έστω και καθυστερημένα σε όλους τους φίλους!! Ιδιαίτερα στο Μιχάλη Λάμπρου, στον Μιχάλη Νάννο, στο Στράτη Αντωνέα αλλά και στο Μιχάλη Τσουρακάκη!

Αλέξανδρος
από cretanman
Σάβ Νοέμ 09, 2019 7:57 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 6379

ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΘΑΛΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας του διαγωνισμού δηλαδή...
από cretanman
Πέμ Νοέμ 07, 2019 8:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 505

Re: Διαιρέτης από τον Lewis Carroll

Αν $b=\displaystyle\prod_{i=1}^m p_i^{k_i}$ η ανάλυση του $b$ σε πρώτους παράγοντες, τότε επιλέγουμε $n=\displaystyle\prod_{i=1}^m\varphi\left(p_i^{k_i}\right)$, όπου $\varphi$ η συνάρτηση του Euler και έχουμε το ζητούμενο καθώς $a^{\varphi\left(p_1^{k_1}\right)}\equiv 1\pmod{p_1^{k_1}}$ κι έτσι $a^...
από cretanman
Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Συνάντηση των μελών του mathematica στο 36ο Συνέδριο της ΕΜΕ, Λάρισα 2019
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 236

Συνάντηση των μελών του mathematica στο 36ο Συνέδριο της ΕΜΕ, Λάρισα 2019

Αγαπητοί φίλοι, Σας ενημερώνουμε για τη συνάντηση των μελών του mathematica.gr σήμερα Σάββατο 2 Νοεμβρίου 2019 και ώρα 16:00 στους χώρους που διεξάγεται το 36ο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας της ΕΜΕ στη Λάρισα στην αίθουσα Β . Η συνάντηση αυτή θα είναι και ταυτόχρονα και ενημερωτική για τη λειτουργία...
από cretanman
Σάβ Σεπ 28, 2019 1:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 4η ΠΑΓΚΡΗΤΙΑ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΜΕΛΩΝ MATHEMATICA.GR (ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1067

4η ΠΑΓΚΡΗΤΙΑ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΜΕΛΩΝ MATHEMATICA.GR (ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ)

Αγαπητοί συνάδελφοι καλημέρα! Μετά από 2 χρόνια χωρίς συνάντηση, αποφασίσαμε να οργανώσουμε και φέτος όπως και πριν 3 χρόνια (δείτε εδώ ) αλλά όπως και προηγουμενα χρόνια ( φωτογραφίες εδώ και εδώ ), την 4η Παγκρήτια συνάντησή μας! Ισχύουν τα ίδια όπως και τα προηγούμενα χρόνια! Να τονίσουμε ότι η σ...
από cretanman
Τετ Σεπ 25, 2019 4:02 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Άγιος Σιλουανός, ο Αθωνίτης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 720

Re: Άγιος Σιλουανός, ο Αθωνίτης

Αγαπητέ Σιλουανέ έστω και καθυστερημένα σου στέλνω πολλές ευχές για χρόνια πολλά με υγεία και δημιουργικότητα!

Αλέξανδρος
από cretanman
Δευ Σεπ 09, 2019 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
Θέμα: Εκθέτης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 366

Re: Εκθέτης

Καλή αρχή στον "ΕΚΘΕΤΗ" με τη νέα του μορφή και την εξαιρετική επιστημονική επιτροπή!!

Εύχομαι να υπάρξουν πολλά πολλά τεύχη και να συνεχίσει να μας μορφώνει όπως γινόταν μέχρι τώρα!

Αλέξανδρος
από cretanman
Σάβ Αύγ 31, 2019 1:24 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 649

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Αγαπητοί φίλοι σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας!! Να είστε πάντα καλά και να χαιρόσαστε την κάθε στιγμή με τους δικούς σας ανθρώπους! Νιώθω τυχερός που γνωρίζω προσωπικά πολλούς από εσάς! Χρόνια πολλά και στους υπόλοιπους που γιορτάζουν και ειδικότερα στον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη! Σε όσους συναδέλ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση