Η αναζήτηση βρήκε 2888 εγγραφές

από cretanman
Σάβ Φεβ 20, 2021 10:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί $a$ και $b$, καθώς και το άθροισμά τους $a+b$. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα; (Ι. Μπογκντάνοβ, Π. Κοζέβνικοβ) Αρχικά το άθροισμα $a+b$, δύο δεκαψήφιων αριθμών μ...
από cretanman
Κυρ Φεβ 14, 2021 11:32 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 478

Ενδιαφέρον Αποτέλεσμα για εκθετική-λογαριθμική συνάρτηση

Καλημέρα σε όλους, Ένα ενδιαφέρον θέμα το οποίο μπορεί να "γεννήσει" ενδιαφέρουσες ασκήσεις: Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=a^x$ και $g(x)=\dfrac{\ln{x}}{\ln{a}}$ με $a>1$. (Στην ουσία πρόκειται για τη συνάρτηση $\log_a{x}$ αλλά την έγραψα έτσι για να είναι εντός ύλης της Γ Λυκείου όπου οι μόνες λογα...
από cretanman
Κυρ Φεβ 14, 2021 8:51 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 362

Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο

Έστω $a, b, c$ οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-x-1=0$. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$ Λίγο διαφορετικά. Η παράσταση $A$ είναι ίση με $A=-3+2\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right) = -3+2\dfrac{(1+a)(1+b)+(1+b)(1+c)+(1+c)(1+a)}{...
από cretanman
Τετ Φεβ 10, 2021 5:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1375

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

2nisic έγραψε:
Τετ Φεβ 10, 2021 4:07 pm
Αν x\geq 2
Αδύνατη με mod9,7,13


Αν x=1or0 μοναδική λύση η (x,y,):(1,1)
Θα μπορούσες να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου; Η παραπάνω απέχει πάρα πολύ από το να μπορεί να θεωρηθεί ως λύση και σίγουρα δε θα έπαιρνε πάρα ελάχιστες έως καθόλου μονάδες σε επίπεδο διαγωνισμών.

Αλέξανδρος
από cretanman
Τετ Φεβ 10, 2021 8:58 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1375

Re: Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει το σημείο αυτό ?- $ord_{25}{3}=20$ Καλημέρα! Εάν $n>1$ ένας ακέραιος και $a$ ένας ακέραιος πρώτος προς το $n$, τότε το $ord_n{a}$ ("τάξη του $a \ mod n$" στα ελληνικά) ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός ακέραιος $x$ ώστε $a^x \equiv 1 \pmod{n}$. Άρα το παραπάνω σημαίνει ...
από cretanman
Κυρ Ιαν 24, 2021 12:14 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Απαντήσεις: 26
Προβολές: 1297

Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν

Και μία ακόμη απόδειξη που νομίζω ότι δεν είδα παραπάνω: Ας υποθέσουμε ότι $AB\leq AC$. Προεκτείνουμε την $AB$ προς το $B$ κατά τμήμα $BD$ ώστε $AD=AC$ και έστω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $B$ και $C$ τέμνονται στο $I$. Τότε από το τρίγωνο $ABC$ έχουμε $\angle{A}=180-2\omega-2\theta$ και από το (ισο...
από cretanman
Τετ Ιαν 20, 2021 9:33 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Σύστημα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 225

Re: Σύστημα!

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}a^2+c=b^2, \\ a+d^2=c^2, \\ b+2cd=0, \\ d=2ab.\end{cases}}$ Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα: $\begin{cases}c^2-d^2=a \\ 2cdi=-bi \\ b^2-a^2=c \\ 2abi=di \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(c+di)^2=a-bi \\ (b+ai)^2=c+di \end{cases}...
από cretanman
Κυρ Ιαν 17, 2021 3:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 169

Re: Μέγιστη τιμή έκφρασης συντελεστών

Για όλα τα $x$, για τα οποία $|x| < 1$, ισχύει η ανίσωση $ax^2+bx+c \leq \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της έκφρασης $a+2c$. Για $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \ \ \dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{\sqrt{2}}+c\leq \sqrt{2}$ Για $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \ \ \dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{\sqrt{2}}+c\leq...
από cretanman
Τρί Ιαν 05, 2021 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 452

Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!

Φέρνω τη διχοτόμο $AD=d$ και πολλαπλασιάζοντας με $d\sin{\left(\dfrac{A}{2}\right)}$ τα 2 μέλη της ζητούμενης έχουμε διαδοχικά: $\begin{aligned}bd\sin{\left(\dfrac{A}{2}\right)} + cd\sin{\left(\dfrac{A}{2}\right)} \leq ad &\Leftrightarrow 2(ADC)+2(ABD)\leq ad \Leftrightarrow 2(ABC) \leq ad \\ &\Left...
από cretanman
Τρί Ιαν 05, 2021 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 452

Re: Τριγωνική Ανισότητα ... εις βάθος!

Μία ακόμη προσέγγιση με τη βοήθεια του τύπου αποτετραγωνισμού $\sin^2{\left(\dfrac{A}{2}\right)}=\dfrac{1-\cos{A}}{2} \ (1)$ και του νόμου συνημιτόνων. $\cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \ \ (2)$ $\begin{aligned}b+c\leq \dfrac{a}{\sin{\left(\dfrac{A}{2}\right)}} &\stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} (b+c)...
από cretanman
Τρί Ιαν 05, 2021 1:27 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Παραγοντοποίηση παράστασης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 396

Re: Παραγοντοποίηση παράστασης

Συμπληρωματικά με τη λύση του κ. Μιχάλη να αναφέρω ότι η παραγοντοποίησή του είναι η καλύτερη πάνω από το $\mathbb{Q}$ καθώς κάθε ένα από τα πολυώνυμα της παραγοντοποίησης είναι ανάγωγο αφού $\varphi(15)=8$ οπότε το πολυώνυμο $x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1$ είναι το κυκλοτομικό πολυώνυμο $\varPhi_{15}$ τά...
από cretanman
Τετ Δεκ 16, 2020 10:25 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 39
Προβολές: 4840

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Καλησπέρα σας! Μήπως γνωρίζει κάποιος πότε θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα? Σε κάποιους νομούς (όπως λ.χ. της Θεσσαλονίκης) όπου τα σχολεία ήταν κλειστά την ημέρα διεξαγωγής του διαγωνισμού "Ο Θαλής", δεν έγινε καθόλου ο διαγωνισμός και αυτός ήταν και ο λόγος που θα γινόταν και 2ος διαγωνισμός για ...
από cretanman
Τετ Δεκ 16, 2020 8:52 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 346

Re: Ευχές

Αγαπητέ Λευτέρη Πρωτοπαπά χρόνια πολλά και πάντα δημιουργικός!

Αλέξανδρος
από cretanman
Παρ Δεκ 11, 2020 10:24 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Από ανισότητα σε ανισότητα.
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 504

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα.

Ορίζουμε $A=\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}$ και $B=\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}$ Τότε από την τριγωνική ανισότητα: $\left|A+iB\right|\leq \left|\cos{x}+i\sin{x}\right|+\left|\cos{y}+i\sin{y}\right|+\left|\cos{z}+i\sin{z}\right|=3$ Έτσι $A^2+B^2\leq 9$ απ' όπου $A^2\leq 9-B^2 \leq 5$ κι έτσι έχουμε το ζητούμενο ...
από cretanman
Παρ Δεκ 11, 2020 11:20 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Διαγωνισμός EMC 2020
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 1529

Re: Διαγωνισμός EMC 2020

Επαναφέρω το θέμα ώστε όσοι Έλληνες μαθητές θέλουν να συμμετάσχουν, να δηλώσουν συμμετοχή στον Ιάσονα.

Μετά από επικοινωνία με τον Ιάσονα, ο διαγωνισμός θα διεξαχθεί (διαδικτυακά) το Σάββατο 19 Δεκεμβρίου και ώρα 9:00. Οπότε μέχρι τότε μπορείτε να δηλώνετε συμμετοχή.

Αλέξανδρος
από cretanman
Δευ Δεκ 07, 2020 10:08 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 646

Re: Ευχές

Στους αγαπητούς φίλους Νίκο Μαυρογιάννη, Νίκο Φραγκάκη, Νίκο Ιωσηφίδη, Νίκο Κατσίπη, Νίκο Κυριαζή, Νίκο Ζανταρίδη, Νίκο Τσιάλα, Νίκο Κολλιόπουλο, Νίκο Αθανασίου αλλα και σε όλους τους εορτάζοντες τις θερμότερες ευχές μου!

Αλέξανδρος
από cretanman
Παρ Δεκ 04, 2020 10:52 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 496

Re: Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Ας υποθέσουμε ότι $a<b<c$ και τότε $C-A=90^{\circ}$ και $b=\dfrac{a+c}{2}$. Τότε λόγω της $A+B+C=180^{\circ}$ έχουμε $B=90^{\circ}-2A$ Από τον Ν. συνημιτόνων έχουμε: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A} \Leftrightarrow \cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \ \ (1)$ Επίσης $c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\left(90^{\circ}+A\right...
από cretanman
Τρί Δεκ 01, 2020 1:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 454

Re: Ευχές

Πολλές ευχές και από εδώ στους 3 καλούς φίλους: Τον Ανδρέα Βαρβεράκη, Τον Ανδρέα Παντερή και τον Ανδρέα Πούλο!

Αλέξανδρος
από cretanman
Τρί Νοέμ 17, 2020 1:02 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 545

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Για το β) $3^n\equiv 3(mod6),7^n\equiv 1(mod6),-25^m\equiv-1(mod6)$ Προσθέτοντας παίρνουμε: $B\equiv \pm 3(mod6)\equiv 3(mod6) (1)$ Ακόμη για $n=2k$ παίρνουμε $3^n+7^n-25^m=9^k+49^k- 25^m\equiv 1^k+1^k-1^m\equiv 1(mod8)$ Για $n=2k+1$ παίρνουμε $3^n+7^n-25^m=3\cdot 9^k+7\cdot 49^k-25^m\equiv 3\cdot ...
από cretanman
Τρί Νοέμ 17, 2020 11:46 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 545

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

ελέγχωντας $mod8$ στις περιπτώσεις οπου $n$ αρτιος και περιττός, πάντα $B\equiv 1mod8$ Φίλιππε, το λάθος κρύβεται στην παραπάνω! Έμμεσα έχεις χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή: $a\equiv b\pmod{n} \Rightarrow |a|\equiv |b|\pmod{n}$ που δεν είναι αληθής (δες το με ένα αντιπαράδειγμα). Έτσι, το minimum της...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση