ΑΣΚΗΣΗ 712: Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}}$ είναι ρητός. http://eisatopon.blogspot.gr/2013/04/blog-post_4737.html $\displaystyle{a=3 \ , \ b=2}$. Σε κάθε διαφορετική περίπτωση ο αριθμός παίρνει τ...

Και μία ακόμα λύση, που εξηγεί την σωστή απάντηση του stergios Μας έχουνε δώσει ότι $\displaystyle{35x+4y7=}$πολλαπλάσιο του $\displaystyle{36}$. Επομένως: $\displaystyle{300+50+x+400+10y+7=}$ πολλαπλάσιο του $\displaystyle{36}$. Δηλαδή: $\displaystyle{x+10y+757=36k\Rightarrow}$ $\displaystyle{x+10y...

Άσκηση 21 Η παραβολή $y=-x^2+2x+8$ , έχει κορυφή το σημείο $A$ και τέμνεται από την ευθεία $y=-x-2$ , στα σημεία $B$ και $C$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Η κορυφή είναι $\displaystyle{A(1,9)}$. Ακόμα άμα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής και της ευθείας, θ...

Για την Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ και Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Στον πίνακα ήταν γραμμένος ένας πενταψήφιος αριθμός. Οι μαθητές έπρεπε να διαιρέσουν τον αριθμό αυτό με το $4$ και να βρουν το υπόλοιπο. Ο Ανδρέας, για να προβληματίσει τους συμμαθητές του, έσβησε το ψηφίο των χιλιάδων και στη θέση του έγραψε το γράμμα $y$. Οι μα...

Άσκηση 20 Ένας ποδηλάτης , τρέχοντας με σταθερή ταχύτητα , διατρέχει μια απόσταση $24 km$ . Αν μπορούσε να τρέξει με ταχύτητα κατά $6 km/h$ μεγαλύτερη , θα ολοκλήρωνε τη διαδρομή σε χρόνο μικρότερο κατά $8 min$ . Ποια ήταν η ταχύτητα του ποδηλάτη ? Άμα $\displaystyle{v}$ Km/h είναι η ταχύτητα στην ...

ΓΙΑ ΤΗΝ Α και Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: : Μια Λερναία Ύδρα έχει $5$ κεφάλια. Αν της κόψουν ένα κεφάλι, τότε φυτρώνουν $5$ καινούρια. Ο Ηρακλής της έκοψε συνολικά $6$ κεφάλια. Πόσα κεφάλια είχε στο τέλος η Λερναία Ύδρα; Α) $25$ , Β) $28$ , Γ) $29$ , Δ) $30$ , Ε) $35$ (Από τον διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ", 2012) AΡΧΗ: $...

$\displaystyle{(a+b)^2 -2ab=(x+y)^2 -2xy\Rightarrow ab=xy\Rightarrow 2ab=2xy}$ και επειδή $\displaystyle{a^2 +b^2 =x^2 +y^2}$: $\displaystyle{a^2 +b^2 -2ab=x^2 +y^2 -2xy\Rightarrow (a-b)^2 =(x-y)^2\Rightarrow |a-b|=|x-y|}$ Θα διακρίνω δύο περιπτώσεις: (α) $\displaystyle{a-b=x-y}$. Eπειδή είναι ακόμα...

AΣΚΗΣΗ 669: α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\displaystyle{a=1+3+3^2+...+3^{148}+3^{149}}$ και $\displaystyle{b=1+5+...+5^{99}.}$ $\displaystyle{a=\frac{1.3^{150}-1}{3-1}=\frac{3^{150}-1}{2}}$ $\displaystyle{b=\frac{1.5^{100}-1}{5-1}=\frac{5^{100}-1}{4}}$ Άμα υποθέσω ότι $\displaystyle{a>b}$ τότε $\...

ΓΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ και Α ΛΥΚΕΙΟΥ : Ποιο είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του αριθμού: $\displaystyle{2^{55}.3^{4}.5^{53}}$, όταν γραφεί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης; Α) $1$ , Β) $2$ , Γ) $4$ , Δ) $6$ , Ε) $9$ (Από τον διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ", 2012) $\displaystyle{2^{55}.3^4 .5^{53}=2^{53}.2^2 .3^4...

ΑΣΚΗΣΗ 661 Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους μικρότερους του $1000$ τέτοιους ώστε ο κύβος του αθροίσματος των ψηφίων τους να ισούται με το τετράγωνο του αριθμού. Άμα ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε θα αποδείξω ότι δεν γίνεται να ισχύει αυτό που ζητάει η άσκηση. Γιατί άμα ονομάσω $\displaystyle{\...

AΣΚΗΣΗ 668: Έστω $a ,b$ θετικοί αριθμοί με άθροισμα $1.$ Αν οι αριθμοί $a^3$ και $b^3$ είναι ρητοί, τότε και οι $a, b$ είναι ρητοί. Επειδή οι αριθμοί $\displaystyle{a^{3} , b^{3}}$ είναι ρητοί τότε και ο αριθμός $\displaystyle{a^{3}+b^{3}}$ είναι ρητός και επομένως και ο $\displaystyle{(a+b)^{3}-3a...

Για το Β: Άμα υποθέσω ότι υπάρχουνε $\displaystyle{x_1 , x_2 \in R}$ με $\displaystyle{x_1 <x_2}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{f^{''}(x_1 ).f^{''}(x_2 )<0}$, τότε επειδή $\displaystyle{f(x)f^{''}(x)>0}$, (διότι έχει αποδειχθεί στο (Α) ότι $\displaystyle{f^{'}>0}$), άρα $\displaystyle{f(x_1 )f(x...

1. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία στο επίπεδο. Βρείτε ευθεία του επιπέδου από την οποία τα τρία σημεία να απέχουν ίσες αποστάσεις. Πόσες τέτοιες ευθείες του επιπέδου υπάρχουν; Άμα ονομάσω τα σημεία με τα γράμματα $A,B,C$, τότε δημιουργώ ένα τρίγωνο $ABC$. ΟΙ ευθείες που συνδέουνε τα μέσα των π...

Nομίζω ότι η απάντηση είναι . Aλλα κάπου δεν μου κολλάει η φράση "το πολύ πρώτου"". Δηλαδή. θα μπορούσε να είναι και πάνω από πρώτου βαθμού; Πιστεύω ότι όχι.

ΑΣΚΗΣΗ 602 : (α) Να αποδείξετε ότι: Αν $\displaystyle{x,y>0}$ με $\displaystyle{x\neq y}$, τότε: $\displaystyle{\sqrt{xy}<\frac{x+y}{2}}$ (β) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+ . . . +\sqrt{2010}<\frac{2010.2013}{4}}$ (β) Θα χρησιμοποιήσω το (α), το οποίο έχει αποδειχθεί ...

Α.8. Εννέα καρέκλες σε ευθεία γραμμή πρόκειται να καλυφθούν από $\displaystyle{6}$ μαθητές και $\displaystyle{3}$ καθηγητές $\displaystyle{A, B, \Gamma}$. Οι καθηγητές φθάνουν πριν από τους μαθητές και αποφασίζουν να επιλέξουν τις καρέκλες τους έτσι, ώστε κάθε καθηγητής να έχει αμέσως δεξιά του και...

Α.5. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις $\displaystyle{8}$ επί $\displaystyle{2\sqrt 2}$ έχει το ίδιο κέντρο μ' ένα κύκλο ακτίνας $\displaystyle{2}$. Το κοινό εμβαδό των δύο γεωμετρικών σχημάτων είναι α) $\displaystyle{2\pi}$ β) $\displaystyle{2\pi +2}$ γ) $\displaystyle{4\pi -4}$ δ) $\dis...

$\displaystyle{=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2e^{2x}-2\sigma \ypsilon \nu 2x -4x}{\frac{1}{2\sqrt{1+8x^3}}.24x^2=}$ $\displaystyle{lim_{x\rightarrow 0}[\frac{e^{2x}-\sigma \ypsilon \nu 2x-2x}{6x^2}.\sqrt{1+8x^3}}]}$ Όμως: $\displaystyle{lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{1+8x^3}=1}$ και $\displaystyle{lim_{x\ri...

Επειδή είναι αναπάντητο από τους μαθητές: $\displaystyle{x=4p+3 , y=4q+2 , p,q \in N}$ a) $\displaystyle{x+y=4p+4q+5=4p+4q+4+1=4(p+q+1)+1}$. Επομένως το υπόλοιπο είναι $\displaystyle{1}$ β) $\displaystyle{xy=16pq+8p+12q+6=16pq+8p+12q+4+2=4(4pq+2p+3q+1)+2}$. Το υπόλοιπο είναι $\displaystyle{2}$ γ) $\...

4. (α) Να αποδείξετε ότι κάθε εξαψήφιος θετικός ακέραιος της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία, διαιρείται με το $\displaystyle{3}$. (β) Να προσδιορίσετε τους εξαψήφιους θετικούς ακέραιους της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία, ο...