$37)$ Nα αποδειχθεί οτι $\boxed{\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\frac{cosx^2-cosx}{x}}dx=\frac{\gamma }{2}}}$ $\gamma = Euler \ constant$ $\displaystyle{ I\left( n \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos \left( {x^2 } \right) - \cos x}} {{x^{n + 1} }}dx} }$ $\displaystyle{ \cos \left( {x...

$104)$ Ας υπολογισθεί το $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}\left(\cos x\ln(\cos^2 x)\right)^2\,dx}$. Paolo Perfetti $\displaystyle{ K = \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\cos ^2 \theta \ln ^2 \left( {\cos ^2 \theta } \right)d\theta } }$ $\displaystyle{ \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\cos ^2 \theta \l...

Nα αποδειχθούν τα ακόλουθα: 43) $\boxed{\displaystyle{\int_{0}^{\infty}{\frac{dx}{(x^4+(1+\sqrt{2})x^2+1)(x^{100}-x^{98}+...+1)}=\frac{\pi}{2(1+\sqrt{2})}}}}$ το ολοκλήρωμα θα πρέπει να είναι $\displaystyle{ I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}} {{\left( {x^4 + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x^...

$\displaystyle 72)$ Να υπολογιστεί το $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\sinh ax}{\sinh bx}}dx,b>\left|a \right|$ $\displaystyle{b > \left| a \right|}$ $\displaystyle{ K\left( {a,b} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sinh ax}} {{\sinh bx}}dx} = 2\int\limits_0^{ + \i...

Σήμερα ονειρεύτηκα το ακόλουθο ολοκλήρωμα, αν δεν διαχωρίσιμο με κοινές μεθόδους, έτσι ελπίζω. αφορά

Υπολογίστε το ακόλουθο προϊόν

Να υπολογισθεί το

Να βρεθεί το

Έστω $\displaystyle{G\left( {n,s} \right) = - \int\limits_0^\infty {{x^{2n - 1}}\frac{{{e^{ - sx}}}}{{1 + {e^{ - sx}}}}dx} }$ , τότε $\displaystyle{\frac{d}{{ds}}\left( {G\left( {n,s} \right)} \right) = - \int\limits_0^\infty {{x^{2n - 1}}\frac{\partial }{{\partial s}}\left( {\frac{{{e^{ - sx}}}}{{...

Να βρεθεί το $\displaystyle{ \int\limits_0^\pi {\sin \left( {nx } \right)\arctan \left( {\frac{{\tan \frac{x } {2}}} {{\tan \frac{\theta } {2}}}} \right)} dx }$ $\displaystyle{ n \in {\Bbb Z}^ + \wedge \theta \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right) }$ είναι $\displaystyle{ u = \arctan \left( {\frac{{...

$\displaystyle{ 2I = \int\limits_{ - a}^a {\frac{{x^{2n} }} {{1 + 2^{\sin x} }}dx} + \int\limits_{ - a}^a {\frac{{x^{2n} }} {{1 + 2^{\sin( - x)} }}dx} = \int\limits_{ - a}^a \left ({\frac{{x^{2n} }} {{1 + 2^{\sin x} }} + \frac{{x^{2n} 2^{\sin x} }} {{1 + 2^{\sin x} }} \right)dx}$ $\displaystyle{= 2\...

$\displaystyle{ I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x^2 }} {{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }}dx\underbrace = _{x = \frac{1} {y} \Rightarrow dx = - \frac{1} {{y^2 }}dy}} \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\frac{1} {{y^2 }}}} {{\left( {\frac{1} {{y^2 }} + 1} \right)^2 }}\frac{1} {{y^2 }}dy} = \int\li...

stuart clark έγραψε: