Η λύση που είχα στο διαγωνισμό: Έστω $f(t) = \sum_{n} a_n t^n$, όπου $a_n = P[X = n]$, τότε παρατηρούμε ότι $f(0) = P[X = 0], f(1) = 1$ , $f'(1) = E[X]$, $f''(1) = E[X^2 - X] = E[X^2] - E[X]$, $f'''(1) = E[X^3 - 3X^2 + 2X] = E[X^3] - 3E[X^2] +2E[X]$. Η συνάρτηση $f(t)$ είναι αναλυτική στον δίσκο $D(...

Μπορούμε να βάλουμε και μια πιο δυνατή συνθήκη:

όπου οι θετικοί ακέραιοι είναι διαιρέτες του

Έστω πως τα σημεία είναι $z_1, z_2, ..., z_n$ στο μιγαδικό επίπεδο, τότε ορίζουμε $f(z) = (z- z_1) ... (z-z_n)$. Η $f$ είναι αναλυτική, άρα αποκτά την μέγιστη απόλυτη τιμή εντός του μοναδιαίου δίσκου πάνω στον μοναδιαίο κύκλο (Maximum modulus principle). Έχουμε $|f(0)| = 1$, άρα η μέγιστη απόλυτη τι...

Όντως είναι overkill το hairy ball, αλλά πλάκα είχε οπότε είπα να το αφήσω
(το κλασσικό αντιπαράδειγμα για το hairy ball σε χώρους αρτίων διαστάσεων βασίζεται σε symplectic matrices, οπότε...)

Άμα αντικαταστήσουμε $f(x) \rightarrow f(x)+C$ η συνθήκη δεν αλλάζει, οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας $f(0)=0$. Τότε, επιλέγοντας $b=0$ έχουμε $a \cdot f(a)=0$. Άρα, έχουμε $(a-b) \cdot (f(a)-f(b))=0 \rightarrow a \cdot f(b)= -b \cdot f(a)$. Επιλέγουμε μια βάση $e_1, e_2, e_3$, και θέτουμε $x= ae_...

Η κατασκευή που βρήκα στον διαγωνισμό: Αρχικά απαριθμούμε τους πρώτους $p_1=2, p_2=3, ...$ και μετά απαριθμούμε τα ζευγάρια $(p_m, n)$ ως εξής: πρώτα επιλέγουμε το $(p_1, 1)$ και μετά επιλέγουμε ένα ζεύγος $(p_m, n)$ που δεν έχει επιλεχθεί ώστε $m+n$ ελάχιστο. Τώρα, κατασκευάζουμε blocks από όρους τ...

Επαναφορά. Το πρόβλημα είναι τροποποίηση από ένα Harvard Problem of the Week, απλά εκείνο ήταν πρόβλημα φυσικής (το $I(S)$ είναι η ροπή αδράνειας) και ήταν γραμμένο με λίγο πιο "απλό" τρόπο. Βέβαια, υπήρχε το πρόβλημα ότι η δοσμένη λύση δεν ήταν μαθηματικά αποδεκτή, αλλά με λίγες τροποποιήσεις δουλε...

Συγχαρητήρια στην ομάδα για τα αποτελέσματα, ειδικά αν σκεφτεί κανείς ότι η φετεινή ΙΜΟ δεν μας "σύμφερε" ιδιαίτερα. :winner_second_h4h: :winner_second_h4h: :winner_third_h4h: Μακάρι μόνο να είχαμε 2 χρυσά, γιατί είναι προφανές ότι δεν τα έχασαν από έλλειψη ικανότητας, αλλά εν μέρει από λεπτομέρειες...

Χωρίς να θέλω να εκτροχιάσω το θέμα, απλά να αναφέρω ότι ο λόγος που (σχεδόν) κάθε χρόνο προτείνονται 2 θέματα γεωμετρίας δεν είναι απαραίτητα η κεντρική της σημασία στα μαθηματικά, αλλά μάλλον το γεγονός ότι είναι ο πιο εύκολα "εκπαιδεύσιμος" τομέας των μαθηματικών ολυμπιάδων. Σχεδόν κάθε μαθητής π...

Κάθε χώρα προτείνει κάμποσα θέματα, από τα οποία συγκροτείται η shortlist. Από εκεί μια επιτροπή που αποτελείται από τους αρχηγούς της κάθε ομάδας επιλέγει τα 4 θέματα της βαλκανιάδας. Δεν είναι συγκεκριμένα άτομα, η μαθηματική εταιρεία της κάθε χώρας προτείνει θέματα. Περίπου το ίδιο συμβαίνει και ...

Δεν νομίζω ότι θα ανακοινωθούν αναλυτικά όλες οι βαθμολογίες, πάντως οι βαθμολογίες της ομάδας είναι 31 (Λώλας), 21 (Δημάκης), 12 (Τσίνας), 11 (Ντούνης), 8 (Σκιαδόπουλος), 6 (Λάζαρης). Η υψηλότερη βαθμολογία του διαγωνισμού ήταν 36/40, τα cutoffs ήταν 31/21/8. Όσον αφορά την βαθμολογία στο κάθε θέμα...

Μια λύση για το πρόβλημα 4, ελπίζω να είναι σωστή. Το μεταφράζουμε σε γράφημα ως εξής: ενώνουμε $2$ κορυφές άμα οι αντίστοιχοι συμμετέχοντες δεν είναι φίλοι. Τότε, η συνθήκη γράφεται ως εξής: για κάθε κύκλο $C$ και $x$ εκτός του $C$, το $x$ είναι συνδεδεμένο το πολύ σε ένα μέλος του $C$. Το ζητούμεν...

Αργυρό στην JBMO στην 6η Δημοτικού; :winner_second_h4h: :shock: :!: :shock: :winner_second_h4h: Ο Δημήτρης πρέπει να πάει για ΙΜΟ λείαν συντόμως, παίζει να σπάσει κάθε ρεκόρ άμα βελτιώνεται με τέτοιο ρυθμό! Α, μια σημείωση για το πρόβλημα 4: είναι ειδική περίπτωση ενός "κλασσικού" προβλήματος (λύνετ...

Alex1994: Φίλε εσύ λες για μαθηματικά τα μαθηματικά λες είναι ο τρόπος επίλυσης προβλημάτων και ότι εσύ είσαι υπεράνω δεν χρησιμοποιείς τις μεθοδολογίες η την αποστήθιση γιατί την απεχθάνεσαι αλλά εσύ ο ίδιος δεν μπορείς να λειτουργήσεις χωρίς "μεθοδολογίες" ... Γιατί εσύ ο ίδιος είπες παραπάνω ότι...

Άμα κρίνει κανείς από το username (με την πρωτοτυπία που διαθέτω έβαλα όνομα+έτος γέννησης :P ) είναι προφανές ότι δεν είμαι εκπαιδευτικός, αλλά απλά πρωτοετής φοιτητής. Μόλις πέρσι ήμουν και γω στην ίδια θέση. Το θέμα της "μεθοδολογίας" στο φροντιστήριο, από ότι έχω δει σε συμμαθητές μου δεν είναι ...

Tι λες φιλτατε περι στανταρισμενης φροντιστηριακης μεθοδολογιας; Ποιος μαθητης χωρις φροντιστηριο εγραφε χτες; Ξερουμε τι λεμε; Το ΘΜΤ για το προσημο της παραστασης του αριθμητη στο Δ δεν ειναι στανταρισμενη μεθοδος των φροντιστηριων; (γινοταν κατα κορο στα σχολεια και δεν το καταλαβα;) Το Γ1 και ο...

Κατανοώ ότι δεν αξιολογεί τον μαθητή πάνω στους μιγαδικούς "άμεσα", αλλά νομίζω ότι οι μέθοδοι που εφαρμόζονται είναι κλασσικές μέθοδοι προβλημάτων με μιγαδικούς. Ισχύει ότι δεν αξιολογεί γνώσεις αλλά "βασικές ικανότητες", κάτι που θεωρώ σημαντικό καθώς όλοι οι μαθητές έχουν επαρκής γνώσεις.

Όσο και να φαίνεται "απαράδεχτο" στην πλειοψηφία, είμαι υπέρ της δημιουργίας θεμάτων όπως το φετινό Β3. Ήταν ένα εύκολο θέμα για οποιονδήποτε είχε ασχοληθεί με την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, μια ανταμοιβή για όσους έχουν το παραμικρό πραγματικό ενδιαφέρον στα μαθηματικά. Δεν έχει σημασία το ότ...

Για κάθε περιοχή στο $S$ στο $\mathbb R^2$ ορίζουμε $I(S)=\int_{S}(x^2+y^2) dA$ και γράφουμε το εμβαδό της $S$ ως $|S|$. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο $T$ με κέντρο την αρχή των αξόνων και πλευρά $1$ και ορίζουμε την εξής ακολουθία περιοχών: i) $T=To$ ii) Το $T_{n+1}$ προκύπτει άμα πάρουμε ομοιόθετ...

Δεδομένου ότι στους διαγωνιζόμενους έχουμε 4 μετάλλια από Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (1 χρυσό, 1 αργυρό, 2 χάλκινα) νομίζω ότι τα θέματα είναι τραγικά εύκολα για αυτό το επίπεδο. Τα 3 πρώτα θέματα δεν παίζει να πήραν πάνω από 10-15 λεπτά στο γράψιμο (το κλασσικό κόλπο με το φράξιμο μεταξύ τετραγώνω...