Όσο πιο κοντά στην αρχή.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $b=5 , c=12$ , το $AD$ είναι το ύψος προς την υποτείνουσα $BC$ . Σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό του τμήματος $BD$ . Η κάθετη προς το τμήμα $AS$ στο $S$ , τέμνει την $AB$ , στο σημείο $T$ . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $AT$ ....

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{ln(x+1)}{x} & , x>-1 , x\neq 0 \\ \\ k & , x=0 \end{matrix}\right.$ α) Βρείτε τον $k \in \mathbb{R}$ , για τον οποίο η $f$ καθίσταται συνεχής στο $x_{0}=0$ β) Δείξτε ότι για κάθε $x\geq 0$ , ισχύει : $\dfrac{2}{x+2}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{\sqrt...

Θέλουμε το ορθογώνιο τρίγωνο να έχει το μισό εμβαδόν του . Βρείτε την θέση του . ( ) .

Πρόκειται ασφαλώς για τον αριθμό : $\dfrac{e^{2\phi}}{2\phi}$ , του οποίου μία εξαιρετική προσέγγιση είναι ο αριθμός : $\dfrac{5\pi}{2}$ . Πράγματι ( με πέντε δεκαδικά ) : $\dfrac{e^{2\phi}}{2\phi}=7.85939 , \dfrac{9e^3}{23}=7.85956 , \dfrac{5\pi}{2}=7.85398$ . Η προτεινόμενη παράγει την : $e^{2\phi...

Δίνεται η συνάρτηση : . α) Να λυθεί η εξίσωση :

β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της . γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : ;

Βρείτε με "καλή" προσέγγιση την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : .

Τα τρία ημικύκλια.png Το σημείο $M$ είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ . Σχεδιάζω ημικύκλιο διαμέτρου $OM$ και ένα τρίτο ημικύκλιο , κέντρου $B$ , το οποίο εφάπτεται στο δεύτερο , έχει τα άκρα του $C $ και $ D$ στην ευθεία $AB$ και τέμνει το αρχικό στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα ...

Λογάριθμος.png $\bigstar$ Τα σημεία $M , N$ είναι μέσα των πλευρών $BC , CD$ του - πλευράς $a$ - τετραγώνου $ABCD$ . α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : $DS , ST , TM$ . γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ;

Η παραβολή με τύπο : , τέμνει τον άξονα στα σημεία και τον , στο .

Ο κύκλος , τέμνει εκ νέου την παραβολή στο σημείο . Βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο του .

Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο . Υπολογίστε το , αν : .

Κώστα , τι να πω , είσαι θησαυρός

Δεν πάει μακριά η βαλίτσα.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει την εξής ιδιότητα : Το άθροισμα του ύψους $AD$ και του τμήματος $BD$ , είναι ίσο με το τμήμα $DC$ . Προεκτείνουμε την $BC$ - και προς τις δύο κατευθύνσεις - κατά ίσα τμήματα : $BS , CP$ . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : $\dfrac{AP}{AS}$ .

Γιώργο , ακριβώς αυτό το τελευταίο είχα κατά νου

Βρείτε ( ει δυνατόν χωρίς χρήση παραγώγου ) την μέγιστη τιμή της παράστασης :

Παραπλήσιοι λόγοι.png Στην πλευρά $AB$ του τετραγώνου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ADP}=30^\circ$ . Στην προέκταση της $PD$ , θεωρούμε σημείο $S$ , έτσι ώστε : $CS=CA$ . α) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{CD}{DS}$ και : $\dfrac{AP}{PB}$ . β) Δείξτε ότι ο δεύτερος λόγος έχ...

Προεκτείνουμε την πλευρά , του τετραγώνου και προς τις δύο

κατευθύνσεις , κατά τμήματα . α) Βρείτε το , ώστε :

β) Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του λόγου : ( και αυτονόητα , το τότε ) .

Βρείτε την θέση του στον μικρό κύκλο , ώστε η τομή του με τον μεγάλο να είναι το μέσο του .

Κατασκευάστε το ορθογώνιο τρίγωνο και το ημικύκλιο διαμέτρου , το οποίο εφάπτεται

στην υποτείνουσα σε σημείο . Ποια ιδιότητα του τριγώνου παράγει και την ισότητα : ;

Ίσες χορδές , διπλάσιο εμβαδόν.png Η εφαπτομένη σε σημείο $S$ του ημικυκλίου διαμέτρου $OK$ , τέμνει τους κύκλους $(O , OS)$ και $(K , KS)$ στα σημεία $T , P$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $PS=TS$ και βρείτε εκείνη την θέση του $S$ , για την οποία το εμβαδόν του μεγαλύτερου ( πράσινου ) κυκλικού τομέα ...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα , ώστε : .

Υπενθυμίζεται ότι το θεωρείται υπολογισμένο , αν είναι ο άγνωστος εξίσωσης , μέχρι τετάρτου βαθμού .