Να αποδειχθεί ότι αν ο είναι πρώτος με ,τότε δεν υπάρχει ,ώστε να ισχύει

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί ,ώστε ο αριθμός να διαιρεί το

Διαφορετικά 'Όπως έχει αποδειχθεί ισχύουν $\hat{C}=\hat{C_{1}}, AB=A_{1}B_{1}$. Αν $D$ είναι το μέσο του τόξου $AB$ του περιγεγραμμένου κύκλου του $ABC$ και το $D_{1}$ είναι το μέσο του τόξου $A_{1}B_{1}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $A_{1}B_{1}C_{1}$ τότε είναι $DA=DB=D_{1}A_{1}=D_{1}B_{...

Η δική μου αντιμετώπιση στην άσκηση: Είναι γνωστό ότι $\frac{OA}{OD}=\frac{AZ}{ZB}+\frac{AE}{EC}$ , $\frac{OB}{OE}=\frac{BZ}{ZA}+\frac{BD}{DC}$, $\frac{OC}{OZ}=\frac{CE}{EA}+\frac{CD}{DB}$ Οπότε αρκεί να αποδειχθεί $\frac{AZ}{ZB}\cdot \frac{BD}{DC}+\frac{AE}{EC}\cdot \frac{BD}{DC}+\frac{AE}{EC}\cdot...

Έστω τρίγωνο και εσωτερικό του σημείο . Αν οι τέμνουν αντίστοιχα τις στα να αποδειχθεί ότι

Να κατασκευαστεί τρίγωνο με πλευρές αν γνωρίζουμε τα μήκη των

Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο . Αν ο κύκλος με διάμετρο τη τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο ,να αποδειχθεί ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου .

Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι

Έστω τρίγωνο $\vartriangle AB\Gamma$ και $\Delta,\ E,\ Z$ τα σημεία επαφής των πλευρών $B\Gamma,\ A\Gamma,\ AB$ αντίστοιχα με τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Αν οι κάθετες από τα $\Delta,\ E,\ Z$ στις $B\Gamma,\ \Gamma A,\ AB$ αντίστοιχα τέμνουν τις $EZ,\ \Delta Z,\ E\Delta$ στα $K,\ \Lambda,\ ...

Έστω δύο ομόκεντροι κύκλοι με ακτίνες αντίστοιχα. Αν είναι ένα τυχαίο ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο στον και τυχαίο σημείο του να αποδειχθεί ότι ισχύει

Έστω τετράπλευρο με . Να αποδειχθεί ότι

Έστω κύκλος με διάμετρο AB=d και Μ τυχαίο σημείο του. Να αποδειχθεί ότι και να βρεθεί το σημείο Μ του κύκλου ώστε να αληθεύει η ισότητα

Να βρεθούν οι γ.τ. των εικόνων των μιγαδικών ώστε να ισχύουν και . Στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση

Έστω τρίγωνο και μια μεταβλητή ευθεία , που διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου και τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ισχύει

Κύριε Στάθη, σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια, αλλά ακόμη περισσότερο για τις υπέροχες ασκήσεις που προσφέρετε στο mathematica

Θεμιστοκλής Καντσός

Μια σύντομη λύση για το πρώτο ερώτημα: Αν ονομάσω $BE,CZ$ τα ύψη από τις $B,C$ στο τρίγωνο $ABC$ και $K,L$ τις προβολές των $B,C$ στην $EZ$. Έστω ότι η μεσοκάθετος της $KL$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $M$ , τότε ως γνωστόν το $M$ θα είναι το μέσο της BC. Από τα ορθογώνια τρίγωνα $BZC,BEC$ με διαμέσου...

ΑΣΚΗΣΗ 136 : Αν α,β θετικοί ακέραιοι και αν $3\alpha +4\beta =120$, να αποδείξετε ότι: 30<α+β<40 για $\alpha =0$, $\beta$ =30 ικανοποιείται η εξίσωση οπότε οι $\alpha ,\beta$ ,που είναι λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης έχουν τη μορφή $\alpha =4t, \beta =30-3t$ όπου ο $t$ είναι ακέραιος. Αφού οι $\al...

Είναι γνωστό ότι και , όπου είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ,οπότε από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ADE ισχύει

Αν είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ακτίνας με τις πλευρές του τριγώνου να αποδειχθεί ότι:

Αν είναι και ισχύει ακόμα , να βρεθεί η γωνία ω