$\displaystyle{f(x-x)\le f(x)+f(-x)\Rightarrow f(0)\le 2f(x)\Rightarrow f(0)\le 2f(0)\Rightarrow 0\le f(0)}$ τότε $\displaystyle{0\le f(x)/2\le f(x),x\in R}$ $\displaystyle{f(a+b-a)\le f(a)+f(b-a)\Rightarrow f(b)-f(a)\le f(b-a)\Rightarrow -(f(a)-f(b))\le f(b-a)=f(a-b)}$ $\displaystyle{f(a-b+b)\le f(...

αρα
συνεπως η εξίσωση είναι αδύνατη

Για να εχει σχεση με τα προηγούμενα to Δ4 (Δεν είναι υποχρεωτικό αλλά μια και προκειται για διαγωνισμα...) 1.Από Fermat $\displaystyle{f'(x_0)=0...a=1}$ ακόμη $\displaystyle{f''(x)=-\frac{1}{x^2}-2<0}$ f κοίλη για $\displaystyle{x>0}$ 2.$\displaystyle{f(1)<0,f(2)>0,f(4)=ln4-4<0}$ αφού $\displaystyle...

Πιστεύω ότι το Δ4 πρέπει να διορθωθεί στο

αρκεί για κάποια $\displaystyle{x,y\in (a,b)}$ να είναι $\displaystyle{ln(\frac{a+b}{2})=\frac{x}{x+y}lna+\frac{y}{x+y}lnb}$ αφού $\displaystyle{a>0,b>0}$ θετω $\displaystyle{m=x\x+y}$ τότε $\displaystyle{y/x+y=1-m}$ με $\displaystyle{0\le m \le 1}$ αφού $\displaystyle{a>0,b>0}$ θετω $\displaystyle{...

7. Βασικό εργαλείο είναι πάλι το ΘΜΤ Επειδή $\displaystyle{1/f'=1/Tan\theta }$ μπορούμε και εδώ να δώσουμε μια γεωμετρική λύση! πρώτα να δείξουμε ότι $\displaystyle{f:1-1}$ αυτό χρειάζεται γιατί σε κάθε επιλογή του $\displaystyle{y}$ έχουμε μοναδικό $\displaystyle{x}$ Η διαμέριση πρέπει να γίνει στο...

6. Aπο ΘΜΤ $\displaystyle{f'(r)f'(s)=\frac{f(k)-f(0)}{k-0}\frac{f(2)-f(k)}{2-k}=\frac{f(k)(4-f(k)}{k(2-k)}}$ Αρκεί να υπάρχει$\displaystyle{k: f(k)=2k}$ ή $\displaystyle{f(k)=4-2k}$ Με ΘΒ για την $\displaystyle{f(x)+2x-4}$ στο $\displaystyle{[0,2]}$ το ΘΜΤ μας περασε από την παράγωγο σε μια συνάρτησ...

Η γνώση τιμών της $\displaystyle{f}$ και η αναζήτηση τιμών της $\displaystyle{f'}$ κάνουν το ΘΜΤ ισχυρό εργαλείο της αναζήτησης μας Έτσι με ΘΜΤ στο $\displaystyle{[1,2]}$ παίρνουμε $\displaystyle{f'(a)=3}$ οπότε αρκεί να βρούμε $\displaystyle{b<a:f'(b)=5/3}$ Επειδή η $\displaystyle{f'}$ είναι συνεχή...

4 Mia γεωμετρική αποδειξη κατά την γνώμη μου κομψή σχημα.docx Χωρίζω το ΟΑ=[0,2] σε 2+3 ισομηκη τμηματα πλατους $\displaystyle{d=2-0/2+3=0.4}$ πέρνω $\displaystyle{OM=2d,MA=3d,MD=y=f(x_0)}$ τοτε$\displaystyle{2dTan(MOD)+3dTan(EDC)=MD+EB=AB}$ συμφωνα με το ΘΜΤ και την γεωμτρική ερεμηνεία της παραγώγο...

να δούμε κι αλλον ενα τροπο ια το 3 $\displaystyle{x^2f''-xf'=xf-2f\Leftrightarrow \frac{xf'-f}{x^2}=\frac{x^2f'-2xf}{x^4} }$ βεβαια με $\displaystyle{x\ne 0}$ τότε $\displaystyle{(\frac{f'}{x})'=(\frac{f}{x^2})'\Leftrightarrow \frac{f'}{x}=\frac{f}{x^2}+c,x>0}$και ομοια για $\displaystyle{x<0}$ αρα...

1)Εχω διαφορετική γνώμη απο τον Βασιλη Το ζητούμενο είναι ισότητα (μπορεί να την κάνουμε κρυφή ωστε να μην φαίνεται η παραγωγος τα δεδομένα είναι ανισότητες που μπορει να σημαίνει πρόσημα για ΘΒ ,ή μονοτονία, ή ακροτατα για fermat Mε $\displaystyle{f(x_0)>4 }$ προσπαθείστε να σχεδιάσετε την $\displa...

το σχολικο αναφερει το ara αρα

ναι , διόρθωσα το τυπογραφικό και αλλο ενα ,εναν τόνο

συγκεντρομενες τεχνικές για υπαρξιακά θέματα του διαφορικού λογισμού σε μια ασκηση. Εστω $\displaystyle{f}$ δυο φορες παραγωγίσιμη στo $\displaystyle{[0,2]}$ με $\displaystyle{f(0)=0,f(2)=4,f'(0)=0}$ 1.Aν υπαρχει $\displaystyle{x_0\in (0,2):f^2(x_0)>4f(x_0)}$τότε υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (0,2)...

συγνωμη λαθος Μια αλλη ιδεα ελπιζω σωστή Eστω $\displaystyle{b-a\ge \pi/2}$ τ'οτε υπάρχει $\displaystyle{ c\in (a,b]:c-a=\pi /2 }$ θέτω $\displaystyle{f(x)=Tan g(x)}$ Aπο την δ.ε είναι $\displaystyle{g'(x)=1}$ αρα $\displaystyle{g(x)-g(a)=x-a}$ ή $\displaystyle{g(c)-g(a) =\pi/2}$ $\displaystyle{\lim...

είναι η άσκηση 6Γ16 στις παραγώγους σελίδα 136 στο βιβλίο μου Οι Ασκήσεις στα αρχεία του Λύση αυτή του Χρήστου περίπου, σελίδα 371.Μετά την εύστοχη παρατήρηση του Σταύρου αναγόμαστε στην άσκηση 7Δ1με λύση διαφορετική που βρίσκεται στην σελίδα 378

μια ακόμη λύση θέτω $\displaystyle{g(x)=e^xf(x),h(x)=e^{-x}f(x)}$ τότε εύκολα βλέπουμε οτι $\displaystyle{g'(x)h'(x)=0,x\in R}$ άρα η $\displaystyle{fg}$ είναι ΤΜΗΜΑΤΙΚΑ σταθερή Αν $\displaystyle{I,J}$ oι ενώσεις των διαστημάτων $\displaystyle{( , ]}$ στα οποία $\displaystyle{h'=0,g'=0}$ αντιστοίχως...

Να επισημάνω κάτι τυπικό οι σταθερές c δεν είναι υποχρεωτικά ίδιες

μια άλλη λύση 2. Έχει αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{g(t)=t^3+sint}$είναι γν αύξουσα άρα 1-1 έστω $\displaystyle{y=f(x),z=f(-x)}$ τότε $\displaystyle{y^3+siny=x-sinx,z^3+sinz=-x+sinx}$ άρα $\displaystyle{g(y)=g(-z)}$ δηλαδή $\displaystyle{f(x)=-f(-x)}$ οπότε $\displaystyle{f}$ περιττή sinx 3.και 4....

Nα συμπληρώσω 4. $\displaystyle{\frac{K(x)}{x}=1/3x+\frac{x-2-2/x}{3^{x+1}} \to 0}$ όταν $\displaystyle{x\to +\infty}$ $\displaystyle{k(x)-0x=1/3+\frac{x^2-x-2}{3^{x+1}}\to 1/3 }$ μετα απο 2 DLH αρα ασύμπτωτος στο $\displaystyle{+\infty}$ η $\displaystyle{y=1/3}$ ενώ $\displaystyle{K(x)/x \to -\inft...