μια άλλη? γεωμετρική ερμηνεία Παίρνω έναν άξονα και 3 σημεία πάνω σ αυτόν $\displaystyle{A_0(a_0),B_0(b_0),C_0(c_0)}$ XBΓ υποθέτω $\displaystyle{a_0<b_0<c_0}$ Ta $\displaystyle{A_1,B_1,C_1}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{B_1C_1,A_1C_1,A_1B_1}$ και έχουν διάταξη $\displaystyle{c_1<b_1<a_1}$ βέβαια...

Να βρεθούν εφ όσον υπάρχουν τα ορια των 2 παραπάνω ακολουθιών

$\displaystyle{a_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}}$ και $\displaystyle{b_{n+1}=(a_nb_nc_n)^{1/3}}$ και $\displaystyle{c_{n+1}=\frac{3}{1/a_n+1/b_n+1/c_n}}$ Aν επιπλέον $\displaystyle{b_0^2=a_0c_0,a_0>0,b_0>0,c_0>0}$ να μελετηθούν ως προς την σύγκλιση και να βρεθούν τα όρια των τριών ακολουθιών (από τα φρ...

μια παρατήρηση
αν η αντίστροφη είναι αύξουσα και κυρτή η είναι κοίλη(θέλει απόδειξη)
Θεωρούμε ότι η συνάρτηση είναι 2 φορές παραγωγίσιμη
Εδώ η αντίστροφη είναι η που πληρεί τις προϋποθέσεις άρα...

Περιληπτική απόδειξη Με την βοήθεια του Θ.Ε.Τ δείχνουμε το Θ.Μ.Τ.ολ $\displaystyle{ m\le f(t)\le M\Rightarrow ...m\le \frac{\int_{a}^{b}{f(t)dt}}{b-a}\le M}$ Aπό ΘΕΤ$\displaystyle{\frac{\int_{x_0}^{x}{f(t)dt}}{x-x_0}=f(\xi)}$ Ο λόγος μεταβολης $\displaystyle{\frac{\int_{a}^{x}{f(t)dt}-{\int_{a}^{x_0...

$\displaystyle{\frac{4^x-1}{x}=\frac{e^{xln4-1}}{xln4}ln4=ln4\frac{e^y-1}{y},y\to 0}$ Ξεκινώντας από την $\displaystyle{e^y\ge y+1}$ και για $\displaystyle{y }$ το $\displaystyle{-y}$ χρησιμοποιούμε το ΚΠ και δείχνουμε το $\displaystyle{\frac{e^y-1}{y}\to 1}$ δεν νομίζω οτι η άσκηση βρίσκεται στον σ...

Aν $\displaystyle{f'\ne 0\Rightarrow f:1-1}$πράγματι έστω $\displaystyle{f(x_1)=f(x_2) }$από Rolle άτοπο άρα για $\displaystyle{x_1\ne x_2 }$ έχω $\displaystyle{f(x_1)\ne f(x_2) }$ Aν $\displaystyle{f }$ συνεχής και 1-1 τότε $\displaystyle{f}$ γν. μονότονη) Έτσι αν $\displaystyle{f'\ne 0\Rightarrow ...

Μορφή $\displaystyle{«a/+\infty}$» γενικότερη της «$\displaystyle{+\infty/+\infty}$» $\displaystyle{ f, g }$ορίζονται τουλάχιστον σε σύνολο μορφής $\displaystyle{(a,x_0)}$,$\displaystyle{(x_0,b)}$,$\displaystyle{(a,x_0)\cup (x_0,b)}$. $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}|g'(x)|=+\infty}$ $\displaystyle{g}...

Για την παρατήρηση του Σταύρου Με ΘΜΤ στο $\displaystyle{[x,2x]}$ έχουμε $\displaystyle{f(2x)-f(x)=xf'(u), x<u<2x \Rightarrow f(2x)-f(x)>xf'(x)}$ όμοια $\displaystyle{f(x)-f(x/2)=x/2f'(v),x/2<v<x \Rightarrow 2(f(x)-f(x/2))=xf'(v)<xf'(x)}$ όμως $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=a\in R}$και $\dis...

Η ολοκληρωτέα συναρτηση εχει κεντρο συμμετρίας το οπως εύκολα μπορούμε να δείξουμε αν πρώτα παραγοντοποιήσουμε σε αρα το ολοκλήρωμα κάνει 0

4.Από το 2 είναι $\displaystyle{(y^2-1)^2(y^2-4)=x^2-4}$ AN $\displaystyle{x>2}$ ή $\displaystyle{x<-2}$ θα είναι $\displaystyle{y^2-4>0}$ αρα $\displaystyle{\Delta <0}$ οπότε στά $\displaystyle{D_1,D_3}$ το τριώνυμο είναι θετικό συνεπώς η y είναι φθίνουσα αφού ο λόγος μεταβολής είναι $\displaystyle...

ΛΑΘΟΣ κατάλαβα την εκφώνηση Θεώρησα δεδομένη την συνεχεια των 3ων f ΣΥΓΝΩΜΗ

4.To $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f_1}$ υπαρχει διοτι είναι συνεχής και 1-1 αρα μονότονη δεν μπορει το οριο αυτό να είναι κάποιο Α διοτι τότε $\displaystyle{A^3-3A=+\infty}$ δεν είναι το $\displaystyle{-\infty}$ γιατί για $\displaystyle{x<2}$ έχουμε $\displaystyle{y>-2}$ οπότε $\displaystyle{\l...

1.H $\displaystyle{g(y)=y^3-3y+x}$ είναι πολυώνυμο 3ου βαθμού άρα έχει μια πραγματική ή ρίζα $\displaystyle{y=f(x)}$ 2.$\displaystyle{(y-1)^2(y+2)=2-x,(y+1)^2(y-2)=-2-x}$ αφού $\displaystyle{f(R)=R}$ υπαρχει $\displaystyle{x:y=1}$ τότε $\displaystyle{x=2}$ ατοπο από την 2η ισότητα 3. $\displaystyle{...

$\displaystyle{D_f=(0,1)\cup (1,+\infty)}$ Ευκολα τα ορια στο $\displaystyle{0+}$ και στο $\displaystyle{+\infty}$ είναι αντίστοιχα το $\displaystyle{0}$ kai $\displaystyle{1}$αντίστοιχα το οριο στο $\displaystyle{1}$ μετα 2 DLH είναι το $\displaystyle{1/2}$ $\displaystyle{f'(x)=\frac{1/x}{ln^2x}-\f...

$\displaystyle{f^3-3f\to l>2 \Rightarrow f^3-3f>2}$ kοντά στο $\displaystyle{x_0}$ τότε $\displaystyle{(1+f)^2(f-2)>0 \Rightarrow f>2}$ Αν δεν υπάρχει το $\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)}$ θα υπάρχουν $\displaystyle{a_n\to x_0,b_n\to x_0}$ αλλά τα $\displaystyle{f(a_n),f(b_n)}$ να μην ισοσυγκλίνο...

για το 2 2η προσπάθεια απο την προηγούμενη $\displaystyle{f(x)ln^+f(x)\ge xf(x)+1-e^x ,f(x)ln^+f(x)-f(x)lnx\ge 1-x}$ αρα$\displaystyle{2+2f(x)ln^+f(x)-f(x)lnx\ge 4-x-e^x+xf(x)\ge 4-1-e+0>0}$ διοτι $\displaystyle{x\le 1,x>0,f(x)>0}$ ολοκληρώνοντας και μεταφέροντας ένα 2α στο 2ο μέλος εχουμε το ζητούμ...

Ναι το διορθωσα Απροσεξία ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα

προσθετουμε Αν $\displaystyle{x\le 1}$ τότε $\displaystyle{xln^+χ=0}$αρκεί $\displaystyle{xy\le e^y-1}$που ισχύει αφού $\displaystyle{xy\le y\le e^y-1}$ αν $\displaystyle{x>1}$θετω $\displaystyle{g(y)=e^y-1+xlnx-xy}$ και εύκολα δείχνουμε ότι η $\displaystyle{g}$εχει ελάχιστο στο $\displaystyle{lnx}$...

$\displaystyle{f(x-x)\le f(x)+f(-x)\Rightarrow f(0)\le 2f(x)\Rightarrow f(0)\le 2f(0)\Rightarrow 0\le f(0)}$ τότε $\displaystyle{0\le f(x)/2\le f(x),x\in R}$ $\displaystyle{f(a+b-a)\le f(a)+f(b-a)\Rightarrow f(b)-f(a)\le f(b-a)\Rightarrow -(f(a)-f(b))\le f(b-a)=f(a-b)}$ $\displaystyle{f(a-b+b)\le f(...