Δεν κατάφερα να τη λύσω.
Βρήκα δυο πιθανές τριάδες που εχουν τη σχέση χ,2χ,4χ αλλά μετα το 15% δεν ήταν σαφως διατυπωμένο.

Αν το 15 ήταν πλήθος παιδιων ή ποσοστό επι του συνόλου τότε θα λυνόταν.
(είμαι υπερβολικός; )

Έστω $\hat{B}_1 = \angle ABD$ και $\hat{B}_2 = \angle MBD$ $B_1=B_2\Leftrightarrow \cos(B_1)=\cos(B_2)\Leftrightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BM}\Leftrightarrow AB\cdot BM=BD^2 (1)$ $\sin(C)=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{2BM}=\cos(B)=cos(2B_1)=2\cos^2(B_1)-1 = 2\frac{BD^2}{BM^2}-1 \overset{(1)}{=} 2\frac{...

Αν $O$ το κέντρο του κύκλου τότε ΠΘ στο $STO$ και έχουμε $R^2 = ST^2 + \left(\frac{SP}{2}\right)^2$. Επειδή $SP = 4 ST$ έχουμε $R^2 = ST^2 + \left(2ST\right)^2 \LeftRightarrow R^2 = 5ST^2 $ Εμβαδόν ορθογωνίου: $ST\cdot SP = 4ST^2$ Εμβαδόν μισού ημικυκλίου: $\frac{\pi}{4} R^2 = \frac{5 \pi}{4} ST^2= ...

Έστω $k\in \mathbb{Z},x\in R$ , $d(x)$ το δεκαδικό μέρος του $x$ και $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor 2x \right \rfloor+\left \lfloor 3x \right \rfloor$. Για $0\leq d(x)< 0,\overline{33}$, είναι $S(x)=\left \lfloor x \right \rfloor+2\left \lfloor x \right \rfloor+3\left \lfloor x ...

Πλέον ... χρησιμοποιώ το overleaf. Online, free, κανει compile σχεδόν real time. Μπορείς επίσης να δουλέψεις το κείμενο με συνεργάτες επειδη είναι online.

Μέσω πυθαγόρειου θεωρήματος στο τρίγωνο $ABC$ βρίσκουμε ότι $BC=10$. Έστω $F$ το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων $DD'$ και $EE''$. To τρίγωνο $DFE$ είναι όμοιο με το $ABC$ οπότε $\frac{3}{10}=\frac{DF}{6}=\frac{FE}{8}$ και τελικά $DF=1.8$ και $FE=2.4$ Έστω $E''F = x = AD'$. Το $x$ βρίσκεται στ...

Έχουμε $(x-2)(y-2)(z-2)= 4 (x+y+z) - 2(xy+xz+yz) + xyz \Leftrightarrow $ $(x-2)(y-2)(z-2)= 4 \cdot 2010 - 2\cdot 67 + xyz \Leftrightarrow$ $ (x-2)(y-2)(z-2)= 8040 - 134 + xyz \Leftrightarrow $ $xyz = (x-2)(y-2)(z-2) - 7906 $ (1) Πρέπει να υπολογίσουμε το γινόμενο $(x-2)(y-2)(z-2)$ Έχουμε $x-2 = \fra...

Καλημέρα. Δεν διάβασα τις λύσεις οπότε η παρακάτω μπορεί να είναι και ίδια με τις υπάρχουσες. Το έλυσα λαμβάνοντας υπόψη ποσους γνώριζαν και όχι ποσους δεν γνώριζαν (μη το ψάχνετε, άβυσσος η ψυχη του ανθρώπου). Στην ερώτηση "πόσους γνωρίζετε για πρώτη φορά στο τραπέζι;" οι δυνατές απαντήσεις μπορούν...

Καλησπέρα. Δεν μου φαίνονται σωστές οι πράξεις μου ... (είναι αργά ...συγχωρεστε με) 1) $(ACZ)=(ABCD)+(BEZH)-[(ACD)+(CHZ)+(AZE)]= $ $4+x^2-(2+\frac{x(x-2)}{2}+\frac{x(x+2)}{2}) =$ $4+x^2-(2+\frac{x^2}{2}-x+\frac{x^2}{2}+x) =$ $4+x^2-(2+x^2) =2 $ 2) Τύπος εμβαδού $E=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)...

Θα μπορούσαμε επίσης να γράψουμε




Προφανώς Α>Β (ίδιος αριθμητής, διαφορετικός παρονομαστής).

Όσον αφορά στη απλοποίηση, κριτήριο διαιρετότητας (με το 3).
Το 401 πάντως δείχνει "μαγικο"

Να δοκιμάσω χωρίς εξισώσεις;

Αφού ο Νίκος κέρδισε τη δευτερη φορά (του) το 2/3 των χρημάτων του (ή του Παναγιώτη αφού κέρδισαν τα ίδια) αυτό σημαίνει ότι τη πρώτη φορά είχε κερδίσει το 1/3 των χρημάτων του.
Δηλαδή το 1/3 είναι 500 ευρώ οπότε όλο το ποσό ειναι 1500 ευρώ

Γενικεύοντας ... Έχουμε Ν διαμερίσματα και η σύνδεση κοστίζει Χ ευρώ. Τον 1ο μήνα ο πρώτος πληρώνει Χ ευρώ. Τον 2ο μήνα ο 2ο πληρώνει Χ/2 ευρώ στον πρώτο. ... Τον κ μήνα ο κ-στος πληρώνει (συνολικά) Χ/κ ευρώ στους κ-1 ιδιοκτήτες δηλαδή από $\frac{\frac{X}{k}}{k-1}=\frac{X}{k(k-1)}$ ευρώ στον κάθε ιδ...

Κάθε χρόνο η ηλικία του παππου αυξάνει κατά 1 έτος ενώ το άθροισμα των ηλικιών του πατέρα και του εγγονού αυξάνονται κατά 2 έτη.
Συνεπώς, κάθε χρόνο η διαφορά ελαττώνεται κατά ένα έτος. Συνεπώς η διαφορά των 20 ετών θα μηδενιστεί σε 20 χρόνια.

(προσπάθησα χωρίς εξισώσεις)

"Μαθηματική" λύση ίσως να είνα η εξής: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{9}{18}+\frac{6}{18}+\frac{2}{18}=\frac{17}{18}$ Επειδή τα παιδια θα κληρονομήσουν ΟΛΕΣ τις καμήλες τότε πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα του κάθε παιδιού επι $\frac{18}{17}$ Έτσι τα αντίστοιχα ποσοστά γίνονται $\frac{9}{17},...

Πρόβλημα 3

Σ: κομματι σκύλου
Γ: κομματι γατας
Υ: υπόλοιπο κομματι




με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε

Πρόβλημα 4 Αν τα περισσότερα παιδιά είναι αγόρια, τότε η ακολουθία των δηλώσεων είναι ΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑ ενώ αν είναι κορίτσια η ακολουθία των δηλώσεων είναι ΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨ. (Α: αληθής, Ψ: ψευδής). Όπου έχουμε Α τότε το δεξι παιδι είναι του ιδίου φύλλου ενώ στο Ψ είναι διαφορετικού. Υπάρχουν 4 περιπτώσει...

Πρόβλημα 1 Έστω $x = \frac{n}{d}$ ο ζητούμενος αριθμος (προφανώς δεν είναι ακέραιος αλλά ρητός). Υποθέτω ότι το $\frac{n}{d}$ είναι ανάγωγο κλάσμα δηλαδή το $n$ και $d$ δεν έχουν κοινούς διαιρέτες ή με άλλα λόγια το κλάσμα δεν απλοποιείται. Τα γινόμενα έχουν την μορφή: A' περίπτωση $\frac{n\times 2...

Για αρχή ξεκινάμε με 25 ασκήσεις από ανάλυση, άλγεβρα, πιθανότητες και αναλυτική γεωμετρία που ανταποκρίνονται στην ύλη του διαγωνισμού. Η δυσκολία των θεμάτων είναι μέτρια, αν και προσπάθησα να ανακαλύψω έξυπνα και ξεχασμένα θέματα που δεν έχουν μπει στους προηγούμενους διαγωνισμούς. Φυσικά δεν έχ...