Αν ;

Η τάξη των στοιχείων με κυκλική δομή είναι και αυτών με κυκλική δομή είναι οπότε παράγουν ομάδες με τάξη μεγαλύτερη του 6.

Μήπως λοιπόν η απάντηση στην ερώτηση του Αλέξανδρου είναι καταφατική και για άλλους περιττούς ;

Το παρακάτω ερώτημα το σκέφτηκα εγώ και δεν έχω λύση. Άσκηση 23 Έστω μια υποομάδα $G$ της συμμετρικής ομάδας $n$ γραμμάτων $S_n$, με $|G| \leq n-1$. Είναι αληθές ότι υπάρχει κάποιο γράμμα ώστε όλα τα στοιχεία της $G$ να το αφήνουν σταθερό? Όταν o $\displaystyle{n}$ είναι άρτιος, $\displaystyle{\,\,...

Άσκηση 10 Έστω $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ ένας δακτύλιος με μονάδα. Να δειχθεί ότι, για ένα στοιχείο $\displaystyle{a\in R}$ τα ακόλουθα ισοδυναμούν : $\displaystyle{1.$ Το στοιχείο $\displaystyle{a}$ είναι αντιστρέψιμο . $\displaystyle{2.$ $\displaystyle{a\notin M}$ για κάθε μέγιστο(α...

Άσκηση 19 Έστω $\displaystyle{\left(G,\cdot\right)}$ μια ομάδα. Αν $\displaystyle{H,K}$ είναι δύο υποομάδες αυτής οι οποίες έχουν ως τάξη τον ίδιο πρώτο αριθμό $\displaystyle{p}$ και $\displaystyle{H\neq K}$ , τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{H\cap K=\left\{e\right\}}$ . Διαφορετικά, η $\displays...

Μέχρι αυτή τη στιγμή έχουν αποσυρθεί τα εξής θέματα από την τράπεζα θεμάτων της Άλγεβρας: 474 479 482 494 1948 2082 2313 4828 4834 7507 7967 4815 4965 6148 6222 7522 Αν υπάρχουν και άλλα αποσυρθέντα θέματα που έχουν πέσει στην αντίληψή σας παρακαλώ να μας ενημερώσετε. Σήμερα αποσύρθηκε και το 2305.

Μέχρι αυτή τη στιγμή έχουν αποσυρθεί τα εξής θέματα από την τράπεζα θεμάτων της Άλγεβρας: 473 (ήταν ίδιο με το 474 όπως παρατήρησε κάποιο μέλος μας) 479 482 494 1948 2082 (αναφέρθηκε ο Γιώργος Ρίζος) 2313 (αναφέρθηκε ο Κώστας Μαλλιάκας) 4828 (αναφέρθηκε πρόβλημα στο πεδίο ορισμού) 4834 7507 7967 (α...

Καλησπέρα σε όλους!!

Νομίζω ότι δεν υπάρχουν πλέον στην τράπεζα τα θέματα 3813, 6876 της γεωμετρίας και τα 2082, 2313 της άλγεβρας.

Ας το δει και κάποιος άλλος, εγώ πάντως δεν μπορώ να τα βρώ. Ελπίζω να αποσύρθηκαν!!

Έστω η προσθετική ομάδα $(G,+)$ και ο αυτομορφισμός $f:G\to G$ τέτοιος ώστε $f^{-1}(x)=-f(x),$ για κάθε $x\in G.$ Να δείξετε ότι είναι αβελιανή. Αν $(G,+)=(\Bbb{Z}_p,+)$ τότε $p\equiv 1 \pmod 4.$ Για το δεύτερο: Είναι γνωστό ότι $\displaystyle{ \text{Aut} (\mathbb Z_p) \cong \mathbb Z_p^* ~~\overse...

Εάν , $A \Delta B=(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$,τότε αποδείξατε ότι: $(A\Delta B)\Delta (B\Delta C) = A\Delta C$ Θεωρούμε γνωστό ότι η συμμετρική διαφορά είναι προσεταιριστική πράξη και ότι για οποιοδήποτε σύνολο $\displaystyle{X}$ είναι $\displaystyle{X \vartriangle X = \varnothing }$ και ...

Σας ευχαριστώ πολύ όλους για τις ευχές σας ... αλλά ... πράγματι γιορτάζω το Δεκέμβριο!!

Η αλήθεια είναι ότι δεν είναι πολύ γνωστή αυτή η γιορτή και ... ίσως είμαι η μόνη Ζωή που δεν γιορτάζει σήμερα!!

Όμως οι ευχές είναι πάντοτε ευπρόσδεκτες!!

Σας ευχαριστώ πολύ και πάλι!!

Για την ισότητα στο 3: Αν $\displaystyle{A\subseteq B}$ τότε είναι $\displaystyle{\mathcal{P}\left(A \right)\subseteq \mathcal{P}\left(B \right)\implies \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)= \varnothing \implies \left( \mathcal{P}\left(A \right)-\mathcal{P}\left(B \right)\right)\cu...

Σας ευχαριστούμε για την προσφορά σας!!

ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC~(\hat A =90^{o})$ ισχύει : $AC=2AB$. Αν $D$ το μέσο της $AC$, $E$ σημείο της $AB$ με $\widehat{EDA}=\widehat{DBC}$ και $DZ\perp BC$ ($Z$ επί της $BC$), να δείξετε ότι : α) $BC=AB\sqrt{5},~DB=AB\sqrt{2}$, β) τα τρίγωνα $ZCD,ABC$ είναι όμοια, γ) $\displaystyle{DZ=\f...

Για το 4. Έστω $\displaystyle{H\unlhd G}$. H ομάδα $\displaystyle{G/H}$ είναι αντιμεταθετική $\displaystyle{ \iff HxHy = HyHx, \, \forall Hx,Hy \in G/H}$ $\displaystyle{ \iff Hxy = Hyx, \, \forall x,y \in G \iff H=Hyxy^{-1}x^{-1} , \, \forall x,y \in G \iff }$ $\displaystyle{yxy^{-1}x^{-1} \in H , ...

Λίγο διαφορετικά από το Θανάση έως το σημείο που βρίσκουμε τον τύπο της $\displaystyle{f}$. Για $\displaystyle{y=e}$ στην αρχική έχουμε: $\displaystyle{f(f(x)f(x)) = f(x),\, \forall x \in G \implies \forall f(x) \in f(G) \overset {f=\varepsilon \pi \iota }{=\!=\!=}G}$ δηλαδή $\displaystyle{f(a^2) =...

Α) Δίνεται η συνάρτηση $f:{{\mathbb{R}}^{*}}\to {{\mathbb{R}}^{*}}$ για την οποία ισχύει: $5f\left( f(x) \right)={{x}^{5}}f(x)+4f\left( f(1) \right)$ για κάθε $x\in {{\mathbb{R}}^{*}}$. (i) Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι $1-1$. (ii) Να βρεθεί η τιμή $f(1)$. (i) Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είν...

Άσκηση 89 Δίνονται τα σημεία του επιπέδου $\displaystyle{A(-1,y), \, B(2x,y),\,M(x,y)}$ με $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$. 1. Αν $\displaystyle{\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB}}$ να δειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{M(x,y)}$ ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση $\displaystyle{y^2...

Άσκηση 87 Δίνεται το ΑΒ με Α $(-\frac{1}{2},0)$ , Β $(\frac{1}{2},0)$ και το μέσον του Κ . Βρείτε το Γεωμετρικό τόπο των Μ ώστε : $\vec{MK}^2-\frac{1}{2}\left|\vec{MA} \right|\left|\vec{MB} \right|(\cos (\vec{MA},\vec{MB})-1)=1$ Αφού $\displaystyle{K}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{AB}$ είναι $\...

Γιώργος Απόκης έγραψε:Καλημέρα. Υπάρχει τρόπος να συνδυαστεί το με το ώστε να υπάρχουν συγχρόνως τα κάτω και πάνω από το ;

Γιώργο δες και εδώ

ΑΣΚΗΣΗ 84 Δίνεται η υπερβολή $\displaystyle{C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ και το σημείο της $M(x_1,y_1)$ διαφορετικό από τις κορυφές της. Έστω $\epsilon$ η εφαπτομένη στο $M$ και $\epsilon '$ η κάθετη στην $\epsilon$ στο $M$. Αν η $\epsilon '$ τέμνει τους άξονες $x'x,~y'y$ στα σημεία $C,D$ ...