Καλημέρα σας. Επιτρέψτε μου τη διατύπωση μιας γνώμης: Δεν καταλαβαίνω γιατί έπρεπε να γράψω όλη αυτή τη latex με το πληκτρολόγιο , (όπως έκανα για το παραπάνω κείμενο ) ,ενώ υπάρχει το κατάλληλο εργαλείο. Ένας πτυχιούχος μαθηματικός δεν έχει κανένα λόγο να κάθεται να γράφει πλήρεις λύσεις π.χ. σε εξ...

Είναι $ \displaystyle x, y \ne0$ και $ \displaystyle x \ne y$, αφού για $ \displaystyle x = y$ το σύστημα που δίνεται είναι αδύνατο. $ \displaystyle \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{5}{3}{\left( {xy} \right)^2} = \frac{{15}}{4}$ $ \displaystyl...

Καλημέρα σε όλους. Μία μακροσκελής απάντηση. Θα χαρώ να δω κάτι συντομότερο. Θέτω $ \displaystyle x + y = a,\;\;xy = b$ , οπότε $ \displaystyle {x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {a^2} - 2b$ το σύστημα γίνεται $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + {b^2} = 41\\ {a^2} - b = 31 \...

Επιχειρώ μια απάντηση στο θέμα του Θανάση . Για να έχει νόημα στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση πρέπει $ \displaystyle 0 \le x \le \frac{a}{2}$ Έστω $ \displaystyle \sqrt {\frac{a}{2} - x} = y,\;\;y \ge 0$ οπότε $ \displaystyle {y^2} = \frac{a}{2} - x$ (1) Η εξίσωση γίνεται $ \displaystyle {x^2}...

Αναζητώντας παλαιότερα βιβλία Γεωμετρίας, έκανα αναζήτηση στην ενημερωμένη και έγκυρη ιστοσελίδα του Παναγιώτη Χρονόπουλου εδώ . Εκεί αναφέρονται τα πιο επιδραστικά βιβλία Γεωμετρίας των τελευταίων δεκαετιών. Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να γνωρίσουν οι νεώτεροι συνάδελφοι τη μαθηματική μας ιστορία μέσ...

Περιμένοντας την ανάρτηση των νέων βιβλίων, να ευχηθώ να είναι καλοτάξιδα, να πετύχουν το στόχο τους. Να ανταμείψουν τον κόπο συγγραφέων, συντελεστών και διορθωτών. Χαίρομαι που βλέπω στις συγγραφικές ομάδες ονόματα φίλων στο :logo: Κοιτώντας τα εξώφυλλα των νέων βιβλίων της Α΄Λυκείου, είδα ότι λείπ...

Καλημέρα σε όλους. Πολλές φορές γρίφοι όπως ο παραπάνω δέχονται ως απάντηση μετασχηματισμούς που δεν ακολουθούν τους κανόνες της σαφούς μαθηματικής διατύπωσης, που (οφείλουμε να) χρησιμοποιούμε. Δεν είμαι οπαδός αυτών των θεμάτων (που δεν έχουν μαθηματικό υπόβαθρο) και δεν τα χρησιμοποιώ. Π.χ. εδώ, ...

Kαλησπέρα σε όλους. Δίχως να πειράξουμε το σχήμα του Θανάση . Δίκαιη μοιρασιά.png Έστω $ \displaystyle \widehat C \le 60^\circ $ . Αλλιώς εργαζόμαστε αναλόγως για τη μικρότερη γωνία του. $ \displaystyle \sigma \upsilon \nu C = \frac{{CT}}{{SC}} \Leftrightarrow CT = SC \cdot \sigma \upsilon \nu C$ $ ...

Πυραμ αριθ.png Το συνολικό άθροισμα είναι $60$. Κάθε αριθμός στις κορυφές προστίθεται τρεις φορές, άρα το άθροισμά τους είναι $20$. Το άθροισμα της οριζόντιας βάσης είναι $34$. Οι κορυφές της βάσης εμφανίζονται δύο φορές, άρα έχουν άθροισμα $17$. Η πάνω κορυφή είναι $3$. Ομοίως οι άλλες κορυφές είν...

KARKAR έγραψε: ↑

Δευ Απρ 06, 2026 6:21 pm

Δίνεται η συνάρτηση : . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

Karsen: ,Συγγενής του Jensen, με καταγωγή από Καρδίτσα.

Θανάση όχι οι Γιώργηδες. Οι Ριζαίοι έχουν θέμα με τις Ρίζες....

Στο τετράγωνο περιέχονται μικρά τετράγωνα με ολικό άθροισμα .

Οι ορατοί αριθμοί έχουν άθροισμα γιατί οι ακραίες τιμές συμμετέχουν σε ένα, ενώ η μεσαία και στα τέσσερα.

Οι αόρατοι συμμετέχουν σε δύο ο καθένας, άρα έχουν άθροισμα .

[attachment=0]06-04-2026 Γεωμετρία.png[/attachment] Οι γωνίες $P, S$ είναι ίσες ως εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο και οι οποίες βαίνουν σε ίσα τόξα $ \displaystyle \mathop {LB}\limits^ \cap = \mathop {LA}\limits^ \cap $ (αφού $A, B$ συμμετρικά ως προς $OK$). $ \displaystyle \widehat L = \frac{{\matho...

Καλημέρα σε όλους. Για $x, y>0$ : $ \displaystyle {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow \left( {x + \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} - 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow $ $ \displaystyle {x^2} + \frac{1}{{{x^2}...

Ευχαριστούμε για τις ενδιαφέρουσες παραπομπές.

Κάτι σχετικό είχαμε συζητήσει πριν 10 χρόνια ΕΔΩ.

Μια καλησπέρα στους αγαπητούς φίλους Θανάση και Κώστα.

Ο Μιχάλης έδωσε τη μαθηματική τεκμηρίωση της απάντησης στο ερώτημα σε επίπεδο Αναλυτικής Γεωμετρίας Λυκείου. :clap2: Να σημειώσω εδώ ότι τέτοια ερωτήματα συναντώνται σε θέματα του ύφους του PISA που απευθύνονται και σε μικρότερους μαθητές και ζητείται απλώς η διαισθητική εκτίμηση της σωστής απάντηση...

Καλημέρα σε όλους. Μια διαφορετική λύση, με τεχνική αρκετά δημοφιλή τα παλαιότερα χρόνια. Δεν ξέρω αν αυτό εννοεί όταν γράφει "με το μάτι" ο Θανάσης . Για $x = y = 0$ επαληθεύεται. Για $ \displaystyle x, y \ne0$, το σύστημα γράφεται: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{y} + \frac{1}{x}...

Συλλυπητήρια στους δικούς του ανθρώπους.

Στο μοιράστηκε απλόχερα μαζί μας τις αστείρευτες γνώσεις του, σε ευρύτατο φάσμα των σχολικών και πανεπιστημιακών μαθηματικών,
πάντα με σεμνότητα, ήθος και επιστημονική αυστηρότητα και λακωνικότητα.

Ίσως κάτι δεν βλέπω, αλλά δεν το βρήκα "βασανιστικό". Λόγω της ημέρας.png Αρκεί $ \displaystyle BHE, DCH$ όμοια με $ \displaystyle \frac{x}{a} = \frac{y}{{b - y}} \Leftrightarrow bx - xy = ay \Leftrightarrow y = \frac{{bx}}{{a + x}}$ Είναι $ \displaystyle xy=ab$, οπότε $ \displaystyle \frac{{bx}}{{a...