Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ συνεχής , 1-1 συνάρτηση με $f(2x-f(x))=x , \ \forall x \in \mathbb{R}$. Αν υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ με $f(\xi)=\xi$ , να αποδείξετε ότι $f(x)=x , \ \forall x \in \mathbb{R} $. 1) Από θεωρία η $f$ είναι γνήσια μονότονη. Θα δείξουμε ότι είναι γνήσια αύξουσα. Αν ό...

Έστω η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(\xi_\nu)$ των κρίσιμων σημείων της $f$. Έχω $f'(\xi_\nu)=0,\xi_\nu\in[\alpha,\beta],\nu\in N^*,\xi_0=\alpha$. Η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$. Από το θεώρημα μέγιστης τιμής, υπάρχει $x_0\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=M=maxf([\alp...