Καλημέρα. Βάφουμε κάποια τετράγωνα του σχήματος μάυρα, όπως φαίνεται στο σχήμα $1$.Τώρα, κάθε πλακάκι που τοποθετείται στον πίνακα καλύπτει ακριβώς $1$ μάυρο τετράγωνο και κάθε μάυρο τετράγωνο καλύπτεται από το πολύ $1$ πλακάκι. Συνεπώς τα πλακάκια είναι το πολύ όσα είναι και τα μάυρα τετράγωνα, δηλ...

Καλησπέρα. Πράγματι (αν δεν μου έχει ξεφύγει κάτι) οι συνεχείς συναρτήσεις $f$ που ικανοποιούν την ζητούμενη ιδιότητα είναι οι $f(x)=0$ και $f(x) = x+c$. Έστω $P(x,y)$ ο ισχυρισμός $f(x+f(y)) = f(x) + f(y)$. Προφανώς η μηδενική συνάρτηση είναι η μόνη σταθερή συνάρτηση που ικανοποιεί. Έστω υπάρχει $t...

Είναι: $ \cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b}{c^2} + \cfrac{c}{a} = \left ( \cfrac{a}{\sqrt{b}} \right )^2 + \left ( \cfrac{\sqrt{b}}{c} \right )^2 + \cfrac{\frac{c}{\sqrt{b}}}{\frac{a}{\sqrt{b}}} = \left ( \cfrac{a}{\sqrt{b}} \right )^2 + \left ( \cfrac{\sqrt{b}}{c} \right )^2 + \frac{1}{\frac{\sqrt{b}}{c}\cdo...

Σε κάθε αντιστροφή πρέπει ξεκάθαρα να λέμε τον πόλο αντιστροφής ( η έκφραση « κέντρο» μάλλον πρέπει να αποφεύγεται ) Και τη δύναμη αντιστροφής . Όπως δηλαδή ο ορισμός στην Ελληνική βιβλιογραφία . Πρέπει με βάσει τα πιο πάνω, να μας πείτε ποια γραμμή αντιστρέφετε. Ο κύκλος $\left( {O,OA} \right)$ υπ...

Για την γενική περίπτωση (με Ευκλείδεια), αναζητάμε τα σημεία που ανήκουν σε δοσμένη ευθεία και ισαπέχουν από άλλη δοσμένη ευθεία και ένα δοσμένο σημείο. Θα προσδιορίσουμε τους κύκλους των οποίων το κέντρο ανήκει στην ευθεία $\zeta$ και οι οποίοι εφάπτονται της ευθείας $\varepsilon$ και περνούν από ...

Καλησπέρα. Ονομάζουμαι τις ακτίνες $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\epsilon_4$ από "αριστερά προς τα δεξιά" (όπως φαίνεται στο σχήμα).Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η διατέμνουσα $EF$, με $E,F$ σημεία των $\epsilon_2, \epsilon_4$ αντίστοιχα, τέμνει την $\epsilon_3$ στο $B$. Έστω ευθεία $\del...

Καλησπέρα. Για την γεωμετρία: Έστω $\omega$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\triangle PBC$ και έστω $G, I, K$ τα ίχνη των υψών του $\triangle ABC$ από τις κορυφές $A,B,C$ αντίστοιχα. Θα δείξουμε ότι το $H$ ανήκει στον $\omega$. Είναι: $\widehat{HBP} = 90^\circ - \widehat{BFI} = 90^\circ - \widehat{ADB...

Καλησπέρα. Μια γεωμετρική προσπάθεια. α) Έστω $E$ το μέσον της $BC$ και έστω η κάθετη από το $E$ προς την $AE$ τέμνει την πλευρά $DC$ στο $F$. Θα δείξουμε ότι $\min DT =DF$. Είναι $\widehat{AEF} = \widehat{ADF} =90^\circ $, οπότε το τετράπλευρο $AEFD$ είναι εγγράψιμμο, με το κέντρο του περιγεγραμμέν...

Καλησπέρα. Μια λύση για το (α). Το σημείο $S$ ανήκει στην πολική του $A$ προς τον κύκλο $(O,r)$, άρα από το θεώρημα La Hire η πολική του $S$ προς τον ίδιο κύκλο θα περνά από το $A$. Συνεπώς η $AT$ είναι η πολική του $A$ προς τον κύκλο $(O, r)$, αφού το $TS$ είναι εφαπτόμενο τμήμα στον $(O,r).$ Αν $...

Καλησπέρα και καλό Πάσχα στο :logo: α) Έχουμε ότι: $\cfrac{SQ}{CQ} = 2 = \cfrac{PS}{CT} \quad$ (λόγω όμοιων τριγώνων $ \triangle PSQ, \triangle TCQ$) $ \cfrac{PS}{CT} = \cfrac{AT}{CT} \quad$ (λόγω του παραλληλογράμμου $APST$) $\cfrac{AT}{CT} = \cfrac{BS}{SC} \quad$ (λόγω της παραλληλίας $AB \paralle...

Καλησπέρα. Μια λύση για το (α). Το σημείο $S$ ανήκει στην πολική του $A$ προς τον κύκλο $(O,r)$, άρα από το θεώρημα La Hire η πολική του $S$ προς τον ίδιο κύκλο θα περνά από το $A$. Συνεπώς η $AT$ είναι η πολική του $A$ προς τον κύκλο $(O, r)$, αφού το $TS$ είναι εφαπτόμενο τμήμα στον $(O,r).$ Αν $D...

Καλησπέρα. Θεωρούμε την αντιστροφή με πόλο το σημείο $O$ και λόγο $r^2$. Επειδή ο κύκλος $K_1$ περιέχει τον πόλο της αντιστροφής και τέμνει τον $K_2$ στα $A,B$, η εικόνα του θα είναι ευθεία που περνά από τα σημεία $A, B$, δηλαδή η ευθεία $AB$. Η ευθεία $CE$ δεν περνά από τον πόλο της αντιστροφής και...

Μια προσπάθεια με ομοιοθεσία... α) Είναι: $\hat{SPC} = 180^\circ - \hat{APC} = 90^\circ$, $\hat{SQC} = 180^\circ - \hat{BQC} = 90^\circ$, $\hat{ASB} = \hat{PSQ} = 90^\circ$ άρα το $PSQC$ είναι ορθωγώνιο και άρα το $M$ είναι και το μέσον της $SC$. Η ομοιοθεσία κέντρου $C$ με λόγο $1/2$ στέλνει το σημ...

Καλησπέρα κύριε Γιώργο. Ας είναι $x_1, x_2$ οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης. Από τους τύπους Vieta είναι $x_1 + x_2 = -a$, $x_1 x_2 = b$. Η ιδέα της απόδειξης έγκειται στο να δείξουμε ότι μία τουλάχιστον εκ των δύο ριζών ανήκει είτε στο $(-1, 0)$ είτε στο $(0, 1)$ οπότε δε μπορεί να είναι ακέραιη. Με...

Καλησπέρα. Έστω $E \equiv MK \cap DC$ και $F$ η προβολή του σημείου $E$ πάνω στην $AB$. Τότε $EC = AS$, αφού τα τρίγωνα $\overset{\triangle}{AKS}, \overset{\triangle}{CME}$ είναι ίσα, έχοντας παράλληλες πλευρές και ίσες τις πλευρές $AK, MC$ $(AK = 3 = MC)$. Άρα $SF = SB - FB = DE - EC$ και $EF = CB ...

Η απόδειξή μου για την πρόταση Α29 : Ευθύ Έστω τρίγωνο $ABC$, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\omega$ και η συμμετροδιάμεσος $AE$. Είναι γνωστό ότι η $AE$ θα περνά από το σημείο επαφής των εφαπτόμενων ευθειών του κύκλου $\omega$ στα σημεία $B, C$ , έστω $\varepsilon_{B}, \varepsilon_{C}$ αντίστοιχα. Δ...

Είναι γνωστό ότι οι πυθαγόρειες τριάδες είναι της μορφής: $(a, b, c) = (m^2 + n^2, 2mn, m^2 - n^2)$ όπου $m,n \in \mathbb{Z}^+, m>n$. Άρα σύμφωνα με τις υποθέσεις του προβλήματος είναι: $\frac{bc}{2} = 2(a + b + c)$ και $b^2 + c^2 = a^2 \Rightarrow mn(m^2 - n^2) = 2(m^2 - n^2 + m^2 + n^2 + 2mn) \Lef...

Καλησπέρα. Θα χρησιμοποιήσω τα ακόλουθα λήμματα: Λήμμα 1 Οι συναρτήσεις $\tau(n)$, $\sigma(n)$ είναι πολλαπλασιαστικές, δηλαδή ισχύει: $\tau(mn) =\tau(m)\tau(n)$ και $\sigma(mn) = \sigma(m)\sigma(n)$ για $m,n \in \mathbb{Z}^+$, με $(m, n) = 1$. Απόδειξη 1) Αν $m,n \in \mathbb{Z}^+$, $(m, n) = 1$ τότ...

Καλησπέρα, η απόδειξή μου για την πρόταση Β16 . Έστω $F, G$ τα κέντρα των κύκλων με χορδές την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας $\widehat{ABC}$ αντίστοιχα. Λόγω της σχέσης επίκεντρης γωνίας και γωνίας χορδής - εφαπτομένης προκύπτει: $\frac{1}{2} \widehat{BFD} = \widehat{BDA} = \wideh...

Εμείς θέλουμε να βγάλουμε ότι $ xy< \frac{1}{2} $ αλλά σε αύτη την περίπτωση έχουμε $xy>1 $ (όπως έβγαλες $ xy=2 $ αλλά όχι $ < \frac{1}{2} $ ) και άρα δεν ειναι δεκτή αυτή. Προσοχή, γιατί δεν στέκει αυτό που λες. Με λίγα λόγια, δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις το ζητούμενο της άσκησης για να απορρίψ...